Ich würde das mit dem Quotientenkriterium zeigen, man kann aber beispielsweise auch das Wurzelkriterium benutzen oder mit der Formel von Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius berechnen. Im Folgenden zeige ich dir, wie ich bei \(\cosh\) zeigen würde, dass der Konvergenzradius \(\infty\) ist.
\(\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!}\)
Für beliebiges \(x\in \mathbb{C}\setminus\left\lbrace0\right\rbrace\) betrachte die Folge \(\left(a_n(x)\right)_{n\in\mathbb{N}_0}\) der Summanden, so dass also \(a_n(x) = \frac{x^{2 n}}{(2n)!}\ne0\) für alle \(n\in\mathbb{N}_0\) ist. Dann ist \(\left\lvert\frac{a_{n+1}(x)}{a_{n}(x)}\right\rvert = \left\lvert\frac{\quad \frac{x^{2 (n+1)}}{(2(n+1))!} \quad}{\quad \frac{x^{2 n}}{(2n)!} \quad}\right\rvert = \left\lvert\frac{x^{2n+2}\cdot(2n)!}{x^{2n}\cdot(2n+2)!}\right\rvert = \left\lvert\frac{x^{2}}{(2n+2)\cdot(2n+1)}\right\rvert = \left(\frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{{\left\lvert x\right\rvert}^2}{\left(2+2\cdot\frac{1}{n}\right)\cdot\left(2 + \frac{1}{n}\right)}\xrightarrow{n\to\infty}0^2\cdot\frac{{\left\lvert x\right\rvert}^2}{(2+2\cdot0)\cdot(2+0)} = 0 < 1\text{.}\)
Nach Quotientenkriterium konvergiert demnach \(\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!}\) für alle \(x\in\mathbb{C}\setminus\left\lbrace0\right\rbrace\).
Offensichtlich konvergiert die Reihe auch für \(x = 0\) (und hat dort den Wert \(0\)) ... \(\cosh(0) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{0^{2 n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty}0 = 0\)
Damit konvergiert \(\cosh(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2 n}}{(2n)!}\) für alle \(x\in\mathbb{C}\), weshalb der Konvergenzradius \(\infty\) ist.
