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g:X= t(8/-5/5)

E:X= -5x+3y+11z=11

Ermittle den Abstand dieser Geraden zur Ebene E.

Ich brauche für die HNF ja einen beliebigen Punkt der gerade. Wie finde ich diesen?

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  So wie du die Gerade notierst, verläuft sie ja durch den Ursprung. Ich sehe da nur einen Richtungsvektor. Gleichsetzen


     5  x  -  3  y  -  11  z  =  (  -  11  )           (  1  )

   5  *  8  t  +  3  *  5  t  -  11  *  5  t  =  (  -  11  )      (  2a  )

   5  (  8  +  3  -  11  )  t  =  0  =  (  -  11  )      Widerspruch      ( 2b  )


 

       Die Gerade verläuft parallel zu der Ebene. Rechnen wir es nach; ich betrachte quasi die Ebenengleichung


           E  =  E  (  x  ;  y  ;  z  )          (  3  )


       als Niveauflächen, als  ===>  Äquipotenzialflächen einer Funktion im Raum. Was gibt E = E ( g ) ?


       t  (  8  *  5  +  5  *  3  -  5  *  11  )  =  5  t  (  8  +  3  -  11  )  =  0        (  4a  )


        Die Gerade verläuft also in einer parallelen Ebene


      E  (  x  ;  y  ;  z  )  =  0      (  4b  )


     Ich gehe jetzt ganz listig her und entwickle die Funktion  E in eine  ===>  Taylorreihe; wir haben hier ja nur das lineare Glied.


     E  (  g  )  =  E  (  P  )  +  <  grad  (  E  )  |  s  >         (  5a  )


     Dabei bedeutet g einen Punkt auf der Geraden und P einen Punkt auf der " 11-er Ebene "  . Diese Funktionswerte setzen wir ein:


      0  =  11  +  <  grad  (  E  )  |  s  >            (  5b  )


   Da wir E ja nicht als einzelne Ebene auffassen, sondern als Funktion, die den ganzen Raum erfüllt, ist der Gradient  wohl definiert; er ist der Vektor der Ableitungen von ( 1 )  , steht senkrecht auf ( 1 )  und bezeichnet die Richtung des steilsten Anstiegs - ganz wie bei den Höhenlinien einer Landkarte in Erdkäs.


    grad  (  E  )  =  [ (dE/dx ) | (dE/dy ) | ( dE/dz ) ]  = ( 5 | - 3 | - 11 )    (  5c  )


    Der Gradient enthält also genau wieder die Koeffizienten deiner Ebene .  Der Vektor s des Abstandes ist natürlich genau senkrecht zu den Ebenen E orientiert, sprich: PARALLEL zu dem Gradienten. Wir müssen also nach Pythagoras die Länge des Gradientenvektors ermitteln:


     |  grad  (  E  )  |  =  sqr  (  5  ²  +  3  ²  +  11  ²  )  =  sqr  (  155  )     (  6a  )


      und aus ( 5b  )


   11  =  |  grad  (  E  )  |   |  s  |  ===>  |  s  |  =  11  /  sqr ( 155 )     (  6b  )

von 5,5 k
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Die Gerade läuft Parallel zu Ebene. Daher hat jeder Punkt der Geraden den gleichen Abstand zur Ebene. Nimm also z.B.(0|0|0).

von 102 k 🚀

Und woher weiß ich, dass (0/0/0) auf der Geraden liegt?

Setze in der Geradengleichung t=0.

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Hallo Ducky,

[8, -5, 5]·[-5, 3, 11] = 0  →  Richtungsvektor von g  ⊥  Normalenvektor von E  →  g || E

g || E  und  (0|0|0) ∈ g   →   d(g,E) = d( (0|0|0) , E )

-5x+3y+11z = 11

wenn man eine solche Ebenengleichung durch den Betrag ihres Normalenvektors dividiert, hat man die Hesse-Normalform von E und rechts steht Abstand der Ebene vom Ursprung:

| [-5, 3 , 11] |  = √155   →  E:  1/√155 · (-5x+3y+11z) = 11/√155

→  d(g,E) = 11/√155   

Gruß Wolfgang 

von 85 k 🚀

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