Konvergenzradius von sinh bestimmen

Question

Kann mir jemand zeigen wie ich den Konvergenzradius von sinh bestimmen ?

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Vollständig so ?

Answer 1

sinh(x) = summe über n=0 bis unendlich  x^{2n+1} / (2n+1)!

             = x* summe über n=0 bis unendlich  x^{2n} / (2n+1)!

und mit z=x^2 hat man

           =   x* summe über n=0 bis unendlich  z^n / (2n+1)!

und dann Quotientenkriterium für Konvergenzradius

         a_n / a_n+1 =  ( 1/(2n+1)! ) / (  1/(2n+3)! ) = (2n+3)!  / (2n+1)! = (2n+2)*(2n+3)

und das geht für n gegen unendlich auch gegen unendlich, also hat die z-Zeihe

den Konv.rad unendlich und damit auch die x-Reihe.

Also: sinh hat Konv.rad unendlich.