Nullstellen und komplexe Linearfaktorzerlegung

Question

hallo gegeben ist

p(z)=z^2+(2-i)z-2i

Ich habe hier leider gar keine ahnung wie ich an die aufgabe rangehen soll, es wäre toll wenn mir jemand einen rechenweg aufzeigt. LG

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gar keine ahnung

Du kannst allen Ernstes keine quadratischen Gleichungen loesen?

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schon aber mit der gegebenen form kann ich nichts anfangen

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Die gegebene "Form" ist z² + pz + q. Da wuerde ich die pq-Formel aus der Schule nehmen, wo man ja wohl gelernt hat, dass man immer z² + pz + q = (z - z₁) (z - z₂) schreiben kann, wobei z₁ und z₂ die beiden Lösungen der Gleichung z² + pz + q =0 sind.

Answer 1

Zerlegung in Linearfaktoren:

Allgemein gilt:$$x^2+px+q=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$$ Du hast eine Quadratische Gleichung der Form \(z^2+(2-i)z-2i\). Wenn ich das jetzt in seine Linearfaktoren zerlege erhalte ich:$$z^2+(2-i)z-2i=(z - i) (z + 2)$$

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danke für deine antwort. ich hab bei dem lösen solcher aufgaben irgendwie einen denkfehler. Wie kann man ablesen, dass die nullstellen i und -2 sind? gibt es da irgendeinen trick?

als ich das ganze mit der pq-formel ausprobiert habe, kam folgendes raus:

- ((2-i)/2) +- √(((2-i)/2)^2 +2i)

nun würde ich unter der wurzel die 2-i/2 quadrieren und erhalte 3/4 oder?, aber wie komme ich jetzt mit dem ganzen kram auf z-i bzw. z+2

Answer 2

Berechnung mit pq-Formel:

z^2+(2-i)z-2i=0

z_1,2= -1+i/2 ± √3/4 -i +2i

z_1,2= -1+i/2 ± √3/4 +i

z_1,2= -1+i/2 ±  1+i/2

z₁= i

z₂= -2

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z1,2= -1+i/2 ± √3/4 -i +2i woher hast du das -i bekommen, also so steht es auch in den lösungen, aber ich begreife nicht woher es kommt :(

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(-1+i/2)^2 =1 -i -1/4 =3/4 -i