Bedingte Wahrscheinlichkeit bei TÜV-Plakette und Alter

Question

Aufgabe 3: Bedingte Wahrscheinlichkeit bei TÜV-Plakette und Alter

Ein Prüfer beim TÜV hat festgestellt, dass 10 % aller vorgeführten Pkw wegen schwerwiegender Mängel fahruntüchtig sind. 60 % dieser Pkws waren älter als sieben Jahre. 20 % der vorgeführten Pkws bekommen die TÜV-Plakette (sind also fahrtüchtig), obwohl sie älter als sieben Jahre sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bekommt ein Pkw, der älter als sieben Jahre ist, die TÜV-Plakette nicht?

Answer 1

P(A) := Kein TÜV    → 0.1

P(B) := Älter als sieben Jahre  ----->   0.6

$$P_B(A)=\frac{0.1\cdot 0.6}{0.2+0.1\cdot 0.6}$$

Comments

$$P_B(A)=\frac{0.1\cdot 0.6}{0.2+0.1\cdot 0.6}=?$$

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Das obere versteh ich, das untere hingegen nicht. Müsste es nicht 0,9*0,2 + 0,1*0,2 sein?

Answer 2

	fahrtüchtig	nicht fahrtüchtig
Jünger als 7	0,7	0,04	0,74
Älter als 7	0,2	0,06	0,26
Summe	0,9	0,1	1

P(nicht fahrtüchtig|älter als 7)=0,06/0,26≈23,08%

Comments

Das obere versteh ich, das untere hingegen nicht. Müsste es nicht 0,9*0,2 + 0,1*0,2 sein?

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Du musst folgendes rechnen.

P(nicht fahrtüchtig|älter als 7)=P(nicht fahrtüchtig∩älter als 7)/P(älter als 7)

=0,06/(0,06+0,2)

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verstehe nicht warum.

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also warum man 0,9 weg lassen kann obwohl man 0,1 berücksichtigen muss.

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Guck dir nochmal den satz von bayes an. Was da berechnet wird.

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verstehe es immer noch nicht. man muss die 0,9 ja auch noch mit einbeziehen imo.

für mich wäre die gleichung

= 0,1*0,6/((0,9*0,2)+(0,1*0,6))

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Die 0,9 ist ja die Wahrscheinlichkeit das ein Auto fahrtüchtig ist. In der Fragestellung geht es aber ja darum wie wahrscheinlich es ist, dass ein Auto nicht fahrtüchtig ist, wenn es älter als 7 Jahre ist. Dafür teilt mal die Wahrscheinlichkeit dass ein Auto nicht fahrtüchtig und älter als 7 ist durch die Wahrscheinlichkeit dass es älter als 7 Jahre ist. Die wahrscheinlichkeiten kannst du in der 4 Felder Tafel ablesen.

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Aber bei dieser Aufgabe z.B

Ein Drogentest hat eine Spezifität von 99% und eine Sensitivität von ebenfalls 98,5%. Das bedeutet, dass die Ergebnisse des Test zu 99% für Drogenabhängige korrekt sein wird und zu 98% für Nicht-Drogenabhängige. Wenn wir wissen, dass 0,5% der getesteten Menschen die Droge genommen haben, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person, die positiv geteste wurde, auch tatsächlich die Droge konsumiert hat?

berücksichtigt man die nicht Drogenabhängigen ja auch. Deswegen versteh ich nicht, Warum man die Fahrtüchtigen bei meiner ursprünglichen Fragestellung nicht respektiert.

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Die Aufgaben haben nichts miteinander zu tun. Du vergleichst Äpfel mit Birnen. Ich habe das Gefühl, anstatt zu verstehen wie der Satz von Bayes funktioniert, versuchst du eher eine Art Kochrezept auswendig zu lernen, dass du immer gleich anwenden kannst. Da die Aufgaben aber unterschiedlich sind, funktioniert das nicht. Ich empfehle dir anzufangen mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

Und genau zu überlegen um welche Ereignisse es in der Aufgabe geht und wie du diese in die Formel einsetzen musst. In der vorliegenden Aufgabe hast du ja schon ein anschauliches Beispiel.

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Ich dachte, ich hätte ihn verstanden, tue es aber anscheinend nicht. Wäre nett von dir, wenn du mir doch den Unterschied zwischen den beiden Aufgaben erklären könntest.

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Ich versuche immer jede aufgabe wo es um bedingte wahrscheinlichkeiten geht mit einer 4 Felder Tafel zu beginnen. Kriegst du die 4 Felder Tafel für die zweite Aufgabe hin?

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Wie bist du auf die 0.06 gekommen? Habe eine ähnliche Aufgabe und verstehe dies nicht

Answer 3

M: der PKW hat Mängel (kein TÜV)
A: der PKW ist alt (älter als sieben Jahre)

gegeben:

$$\begin{aligned}P(M)&=0,1\\ P_M(A)&=0,6\\ P(\overline{M}\cap A)&=0,2\end{aligned}\\$$

gesucht:

$$P_A(M)$$

Baumdiagramm (Linien vorstellen, ich liebe die Formatierungsmöglichkeiten dieses Forums, aber ein einfaches Tool für Baumdiagramme fehlt noch!):

			0,6	$A$
		$M$
	0,1		0,4	$\overline{A}$
$.$
	0,9			$A$	0,2
		$\overline{M}$
				$\overline{A}$

$$P(A\cap M) = 0,1 \cdot 0,6=0,06\\ P(A) = 0,06 + 0,2=0,26$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit befindet sich im inversen Baumdiagramm:

			$P_A(M)$	$M$	0,06
		$A$
	0,26			$\overline{M}$	0,2
$.$
	0,74			$M$
		$\overline{A}$
				$\overline{M}$

$$P_A(M)=\frac{0,06}{0,26}=\frac{3}{13}\approx 0,23\\$$