Es ist \[\lim_{x\to 0} x = 0,\quad \lim_{x\to 0}\ln(x) = -\infty\] damit würde man bei \(x\cdot \ln(x)\) für \(x\to 0\) erst einmal naiv sowas wie \(0\cdot(-\infty)\) erhalten. Das ist ein unbestimmter Ausdruck. Bei solchen unbestimmten Ausdrücken der Form \(0\cdot\infty\) ist es oft hilfreich, den entsprechenden Term in einen Bruch umzuschreiben, und dann L'Hospital anzuwenden.
\[\lim_{x\to 0} \left(x\cdot\ln(x)\right)=\lim_{x\to 0} \frac{\quad\overbrace{\ln(x)}^{\to\infty}\quad}{\quad\underbrace{x^{-1}}_{\to\infty}\quad}\stackrel{\text{L'Hospital}}{=}\lim_{x\to 0}\frac{\quad\frac{1}{x}\quad}{-x^{-2}}=\lim_{x\to 0}\left(-x\right) = -0 = 0\]
