Ich hätte einfach integriert.
$$ \int{\cos(t)(\cos(t)+1)}dt=\int{cos(t)+cos^2(t)}dt\\=\int\cos(t)dt+\int\cos^2(t)dt=\sin(t)+\int\cos^2(t)dt\stackrel{(*)}{=}\frac{1}{2}(\sin(t)\cos(t)+t)+\sin(t) $$
$$(*)\int\cos^2(t)dt =\int\cos(t)\cos(t)dt\\=\sin(t)\cos(t)-\int-\sin(t)\sin(t)dt\\=\sin(t)\cos(t)+\int\sin^2(t)dt\\=\sin(t)\cos(t)+\int1-\cos^2(t) dt\\=\sin(t)\cos(t)+t+\int-\cos^2(t) \\\Leftrightarrow 2\cdot \int\cos^2(t)dt=\sin(t)\cos(t)+t\\\Leftrightarrow \int\cos^2(t)dt=\frac{1}{2}(\sin(t)\cos(t)+t)+\sin(t) $$
Nun das bestimmte Integral:
Im Intervall [0,2π] hat f Nullstellen bei π/2, π, 3/2π, weshalb das Integral in vier Teilintegrale aufgeteilt werden muss, um die Fläche zu erhalten.
$$ \int_0^{2\pi}\cos^2(t)dt=\int_0^{\pi/2}\cos(t)(\cos(t)+1)dt\\+\int_{\pi/2}^{\pi}\cos(t)(\cos(t)+1)dt+\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}\cos(t)(\cos(t)+1)dt\\+\int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}\cos(t)(\cos(t)+1)dt=\underline{\underline{\pi}} $$
