Sei A ∈ R nxn invertierbar. Beweisen Sie, dass jede Matrix B ∈ R nxn mit
||B-A|| < α := 1/ ||A -1|| invertierbar ist.
||.|| bezeichnet irgendeine Matrixnorm.
Vom Duplikat:
Titel: Zeige: Wenn A invertierbar, dann ist auch 1/A^-1 invertierbar
Stichworte: matrix,invertierbar,norm
Schreibe \( B \) in der Form \( B = A ( I - ( I - A^{-1} B ) ) \).
Für \( I - A^{-1} B \) gilt
$$ \| I - A^{-1} B \| = \| A^{-1} (A - B) \| \le \| A^{-1} \| \cdot \| A - B \| < 1 $$ wegen der Voraussetzung.
Damit ist \( I - ( I - A^{-1} B ) = A^{-1} B \) invertierbar (s. Neumannsche Reihe) und damit auch \( B \)
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