Extremwertaufgabe Zylindervolumen

Question

Gegeben ist die Funktion

$$ f ( x ) = 4 - 2 \sqrt { x } \text { für } x > 0 $$

In den Drehkörper, der bei Rotation um die y-Achse entsteht, wird ein Kreiszylinder (Zylinderachse
= y-Achse) einbeschrieben. Für welchen Radius und für welche Höhe wird das Zylindervolumen
maximal?

Aus der Teilaufgabe davor erhalte ich 64/5 PI

Es ist ja eine Extremwertaufgabe, daher habe ich 3. Schritte:

1.) Hauptbedingung finden
2.) Nebenbedingungen aufstellen
3.) Zielfunktion aufstellen und Extrempunkte berechnen

Für Schritt 1 hätte ich das Volumen eines Zylinder also:V = PI * r^2 * h

Aber leider weiß ich nicht wie ich die Nebenbedingungen aufstellen soll.

Wie finde ich diese heraus?

Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir weiter helfen würdet.

Euer Max :)

Comments

Hallo max,
die Aufgabe habe ich nicht richtig gelesen.
Es soll um die y-Achse rotiert werden.
Falls dir das zu schwierig ist
( mir ist es das )
dann bilden wir die Umkehrfunktion
und lassen das Granze wie gewohnt um
die x-Achse rotieren.
y = 4 - 2 * √ x
Umkehrfunktion
x = 4 - 2 * √ y
2 * √ y = 4 - x
√ y = 2 - 1/2x
y = ( 2 - 1/2x )^2
f ( x ) = ( 2 - 1/2x )^2

Kannst du die Aufgabe zu Ende rechnen ?

Ansonsten melde dich wieder.

zur Kontrolle
x = h = 4/5
f ( x ) = r = 2.56
V = 16.47

Answer 1

Offenbar lässt sich mit
$$V(r) = \pi \cdot r^2 \cdot \left(4-2\cdot\sqrt{r}\right) \quad\land\quad 0 \lt r \lt 4$$unmittelbar eine mögliche eindimensionale Zielfunktion für das Volumen des Zylinders angeben. Wegen
$$V'(r) = 0 \quad\Leftrightarrow\quad r = \dfrac{64}{25}$$ist der eindeutig bestimmte Radius des volumenmaximalen Zylinders bereits gefunden und mit
$$h=f\left(\dfrac{64}{25}\right)=\dfrac 45$$auch die zugehörige Höhe. Das (hier nicht gefragte) maximale Volumen beträgt
$$V\left(r=\dfrac{64}{25},h=\dfrac 45\right) = \dfrac{16384\cdot\pi}{3125}.$$

Answer 2

f := 4 - 2 * √ (x)

Drehkörper
h = x
r = f ( x ) = 4 - 2 * √(x)

Volumen
V ( x ) = h * r^2 * π
V ( x ) = x * ( 4 - 2 * √(x) )^2 * π
V ´( x ) = 8 *π * ( x - 3 * √ x  + 2 )
Extremwert
8 *π * ( x - 3 * √ x  + 2 ) = 0
x - 3 * √ x  + 2 = 0
x = 1
und
x = 4  ( Minimum entfällt )

h = 1
r = 2
V = 4 * π

Bitte nachrechnen.

Comments

erstmal vielen Dank für die Antwort. :) Hätte noch Fragen:

Wieso ist die Funktion = r ?

Und was ist die Nebenbedingung ?

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Hallo max,

Hier die Skizze

rote Linien
waagerecht : x und somit h vom Drehkörper
senkrecht : f ( x ) = r  rotiert um die x-Achse und bildet
damit eine Scheibe / Kreis
oder Grundfläche des Zylinders.

Und was ist die Nebenbedingung ?
Das weiß ich in diesem Fall auch nicht.
Vielleicht Ersetzung von r durch f ( x )

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In den Drehkörper, der bei Rotation um die y-Achse entsteht, wird ein Kreiszylinder (Zylinderachse = y-Achse) einbeschrieben. Für welchen Radius und für welche Höhe wird das Zylindervolumen maximal?

Answer 3

y = 4 - 2·√x

x = (2 - y/2)^2 = 0.25·y^2 - 2·y + 4

Nebenbedingung

r = 0.25·h^2 - 2·h + 4

Hauptbedingung

V = pi·r^2·h = pi·(0.25·h^2 - 2·h + 4)^2·h = pi/16·(h^5 - 16·h^4 + 96·h^3 - 256·h^2 + 256·h)

V' = pi/16·(5·h^4 - 64·h^3 + 288·h^2 - 512·h + 256) = 0 --> h = 0.8

Einsetzen in die Nebenbedingung

r = 0.25·0.8^2 - 2·0.8 + 4 = 2.56