Aufgabe Nullstelle berechnen

Question

Hallo :) wäre super wenn ihr mir hier helfen könntet .

1. Zeige ,das f(x)=x³+x²+2x+1 genau eine einfache Nullstelle x_∗ in [−1,0] besitzt.

2. Finde mit dem Newtonverfahren zum Startwert x₀ = −1 die ersten 3 Approximationen x₁ , x₂ und x₃ von x_∗ und gebe die ersten 5 Stellen von f(x₃) an.

Comments

zu 1.: Zeige zunächst, dass f einen Vorzeichenwechsel in [-1,0] aufweist. Daraus folgt dann wegen der Stetigkeit von f, dass f in [-1,0] auch mindestens eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt. Untersuche nun die erste Ableitung f' von f. Sie wird sich als strikt positiv erweisen. Daraus folgt zum einen, dass f streng monoton steigend ist, so dass es genau eine Nullstelle geben muss. Zum anderen muss diese Nullstelle auch eine einfache sein, da andernfalls auch die Ableitung dort Null sein müsste.

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Wenn du es wirklich elegant machen willst, dann mach es wie folgt und schwinge dein Weinglas dabei. Du ein Polynom der Form $Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$. Du musst vorerst zwei Parameter bestimmen $p$ und  $q$.$$p=\frac{9AC-3B^2}{9A^2}$$$$q=\frac{2B^3-9ABC+27A^2D}{27A^3}$$ Ich erhalte für $p=\frac{5}{3}$ und $q=\frac{11}{27}$. Stelle nun ein Gleichungssystem auf $-p=3uv$ und $-q=u^3+v^3$. Ich erhalte $u≈0.636425$ und $v≈-0.872932$ Nun gibt es die ganz simple Formel $x_1=u+v-\frac{B}{3A}$. Dort setzt du einfach ein:$$x_1=0.636425-0.872932-\frac{1}{3\cdot 1}$$ Ich erhalte für $x_1\approx-0.5698403333$.

Chapeaux!

§ 9 JuSchG
Alkoholische Getränke

1. Bier, Wein, weinähnliche Getränke oder Schaumwein oder Mischungen von Bier, Wein, weinähnlichen Getränken oder Schaumwein mit nichtalkoholischen Getränken an Kinder und Jugendliche unter 16 Jahren,

2. andere alkoholische Getränke oder Lebensmittel, die andere alkoholische Getränke in nicht nur geringfügiger Menge enthalten, an Kinder und Jugendliche

weder abgegeben noch darf ihnen der Verzehr gestattet werden.

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Achso, falls dich das interessiert:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Answer 1

Zu 1.:

Benutze den Zwischenwertsatz, um zu zeigen, dass es eine Nullstelle $x_{*}\in[-1, 0]$ gibt. Betrachte die Ableitung $f'$, um zu zeigen, dass $x_{*}$ die einzige Nullstelle von $f$ ist, und um zu zeigen, dass $x_{*}$ eine einfache Nullstelle ist.

Die Funktion $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad x\mapsto x^3+x^2+2x+1$ ist stetig. Es ist $f(-1) = \left(-1\right)^3 + \left(-1\right)^2+2\cdot \left(-1\right)+1 = -1+1-2+1 = -1 < 0$ und $f(0) = 0^3+0^2+2\cdot 0 + 1 = 1 > 0\text{.}$

Mit Zwischenwertsatz folgt, dass es ein $x_{*}\in [-1, 0]$ mit $f\left(x_*\right) = 0$ gibt.

Für alle $x\in\mathbb{R}$ ist $f'(x) = 3 x^2 + 2x + 2 = 2 x^2 + x^2 + 2x + 1 + 1 = 2 x^2 +(x+1)^2 + 1 \geq 1 > 0 ,$ weshalb $f$ streng monoton steigend ist. Damit ist $f$ insbesondere injektiv, so dass $x_*$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.

Da $f'(x)>1$ für alle $x\in \mathbb{R}$ ist, ist insbesondere $f'(x_{*})\ne 0$, was zeigt, dass $x_*$ eine einfache Nullstelle von $f$ ist.

Zu 2.:

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

Für $n\in\mathbb{N}_0$ erhält man rekursiv

$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_{n}^3+x_{n}^2+2 x_{n} + 1}{3 x_{n}^2 + 2 x_{n} + 2}\text{.}$

Man soll mit dem Startwert $x_0 = -1$ beginnen. Demnach erhält man:

[Bei $\left(\#\right)$ wurde jeweils auf 10 Nachkommastellen gerundet.]

$\begin{aligned}x_1 & = x_0 - \frac{x_{0}^3+x_{0}^2+2 x_{0} + 1}{3 x_{0}^2 + 2 x_{0} + 2} = -1 - \frac{\left(-1\right)^3+\left(-1\right)^2+2 \cdot\left(-1\right) + 1}{3 \cdot\left(-1\right)^2 + 2 \cdot \left( - 1\right) + 2} \\ & = -1 - \frac{-1+1-2+ 1}{3 - 2 + 2} = -1-\frac{-1}{3}=-1+\frac{1}{3}\\ & =-\frac{2}{3}\stackrel{\left(\#\right)}{\approx}-0{,}6666666667\end{aligned}$

$\begin{aligned}x_2 & = x_1 - \frac{x_{1}^3+x_{1}^2+2 x_{1} + 1}{3 x_{1}^2 + 2 x_{1} + 2} = -\frac{2}{3} - \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^3+\left(-\frac{2}{3}\right)^2+2 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right) + 1}{3 \cdot\left(-\frac{2}{3}\right)^2 + 2 \cdot \left( - \frac{2}{3}\right) + 2} \\ & = \dots = -\frac{31}{54}\stackrel{\left(\#\right)}{\approx}-0{,}5740740741\end{aligned}$

$\begin{aligned}x_3 & = x_2 - \frac{x_{2}^3+x_{2}^2+2 x_{2} + 1}{3 x_{2}^2 + 2 x_{2} + 2} = -\frac{31}{54} - \frac{\left(-\frac{31}{54}\right)^3+\left(-\frac{31}{54}\right)^2+2 \cdot\left(-\frac{31}{54}\right) + 1}{3 \cdot\left(-\frac{31}{54}\right)^2 + 2 \cdot \left( -\frac{31}{54}\right) + 2} \\ & = \dots = -\frac{82576}{144909}\stackrel{\left(\#\right)}{\approx}-0{,}5698472835\end{aligned}$

Vermutung: Die ersten $5$ Nachkommastellen von $x_*$ sind gegeben durch $x_* = -0{,}56984\ldots$.

Es ist $f(-0{,}56985) = \ldots = -0{,}000017810971625 < 0$ und $f(-0{,}56984) = \ldots = 0{,}000000533828096 > 0,$ was zeigt, dass die Vermutung richtig ist. Denn es ist $-0{,}56985 < x_{*} < -0{,}56984$.

Comments

Schöne Antwort! :-)

Answer 2

xneu = x - f(x) / f'(x)

xneu = x - (x³ + x² + 2·x + 1)/(3·x² + 2·x + 2)

x0 = -1

x1 = -0.6666666666

x2 = -0.5740740740

x3 = -0.5698472834

x4 = -0.5698402910

x5 = -0.5698402909

Answer 3

Das Newton-Verfahren schon wieder! Das Newton-Verfahren wird durch folgende Gleichung beschrieben:$$x_{i+1} = x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$ Du untersuchst das Intervall $[0;-1]$. Wir können nun also als geeigneten Startwert $x_0$nehmen. Ich entscheide mich für die $0$. Wir brauchen nun die erste Ableitung $f'(x)$ von der Startfunktion:$$f'(x)=3x^2+2x+2$$ Nun können wir einfach in die Formel einsetzen:$$x_{1} = 0-\frac{0^3+0^2+2\cdot0 +1}{3\cdot 0^2+2\cdot 0+2}$$ Wenn wir das in den Taschenrechner eintippen erhalte ich $x_1=-\frac{1}{2}$. Das ist dein neuer Wert:$$x_2=-0.5-\frac{-0.5^3+(-0.5^2)+2\cdot (-0.5)+1}{3\cdot (-0.5)^2+2\cdot (-0.5)+2}$$ Hier erhalte ich für $x_2=-0.571429$. Das ist wieder dein neuer Wert. Du siehst, dass sich die erste Stelle schon nicht mehr verändert hat. Mach mal weiter bis du die gewünschte Präzision errreicht hast.

Comments

Da du nicht mit dem Startwert x0 = −1 gerechnet hat ergeben sich zu meiner Rechnung abweichende Ergebnisse.

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Weiß ich doch!

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Du untersuchst das Intervall [0,1].

Eigentlich nicht.

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Du untersuchst das Intervall $[0;1]$.

Dort gibt es keine Nullstelle.

Wir können nun also als geeigneten Startwert $x_0$ die goldene Mitte nehmen, also $0$.

Wäre das nicht $\frac12$?

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Oh neeein Leute! Ich habe das Minus vor dere Eins vergessen!!! Geht die Welt jetzt unter?