Tjaa; was würde man tun? Zunöchst mal hast du aus der AGULA den allgemeinen Lösungssatz
" allgemeine Lösung des LGS = Sonderlösung + ===> Kern. " ( 1 )
Also bestimmen wir doch erst mal den Kern.
10 a + 28 b + 42 c + 98 d = 0 | : 2 ( 2a )
5 a + 14 b + 21 c + 49 d = 0 ( 3a )
a + b + c + d = 0 ( 2b )
Der ===> Rang des LGS ( 3a;2b ) dürfte 2 betragen. Damit haben wir zwei Kernvektoren; unsere Strategie: Wenn wir damit durch kommen, dass wir nacheinander a = 0 so wie d = 0 setzen, sind wir fertig. Zunächst a = 0 , dann können wir ganz kräftig kürzen.
2 b + 3 c + 7 d = 0 | : d ( 4a )
b + c + d = 0 | : d ( 4b )
Hier der von mir entwickelte Spezial_Divisionstrick. Da ja rechts Null steht, bleibt das GS ( 4ab ) trotz der Division linear; und zwei Unbekannte erweisen sich im Gegentum zu dreien als beherrschbar. Setze
B := b / d ; C := c / d ( 5 )
In den neuen Unbekannten lauten ( 4ab )
2 B + 3 C = ( - 7 ) ( 6a )
B + C = ( - 1 ) | * 2 ( 6b )
Den Umformungsschritt habe ich wie üblich vermerkt; das Subtraktionsverfahren ( 6a ) - ( 6b ) liefert
C = ( - 5 ) ; B = 4 ( 7a )
und damit unseren ersten Kernvektor
Kern_1 = ( 0 | 4 | - 5 | 1 ) ( 7b )
Und jetzt wiederholen wir das Spielchen mit d = 0 .
5 a + 14 b + 21 c = 0 : µ ( 8a )
a + b + c = 0 : µ ( 8b )
Was ist jetzt auf einmal dieses µ ? Schaut mal hier; ich habe bei Arndt gespickt. Arndt notiert den Kernvektor grundsätzlich primitiv .
https://www.matheretter.de/rechner/lgspro
Wir setzen
a := 7 µ ( 9a )
Im Grunde wird also durch a dividiert; nur wenn du nicht diese Hilfsgröße µ einführst, riskierst du gebrochene Lösungen. Ich setze noch
B := b / µ ; C := c / µ ( 9b )
Dann können wir aber auf einmal in ( 8a ) kürzen
2 B + 3 C = ( - 5 ) ( 10a )
B + C = ( - 7 ) ( 10b )
( ( 10ab ) hat natürlich die selbe Koeffizientenmatrix wie ( 6ab ) )
mit der Lösung
C = 9 ; B = ( - 16 ) ( 11a )
Kern_2 = ( 7 | - 16 | 9 | 0 ) ( 11b )
Kehren wir zu deinem ursprünglichen inhomogenen LGS zurück; der Ausgangspunkt in ( 1 ) war doch: In ( 1 ) genügt uns eine Sonderlösung. Und da stellt sich eben vorteilhaft heraus, dass es eine Lösung gibt auch für a = d = 0 - zwei Unbekannte können wir ja.
14 b + 21 c = 290 982 ( 12a )
b + c = 6 679 ( 12b )
die Lösung von ( 12ab ) bitte ich wieder Arndt zu entnehmen; sie ist nicht annähernd so komplitückisch, wie ich befürchtet hatte.
