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Wie löse ich folgende Aufgabe?

10a+28b+42c+98d=581964

a+b+c+d= 6679

Ich habe leider nur die angegebenen Gleichungen.

Danke!

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Es gibt keine eindeutige Lösung.
Eine Reduzierung könnte man vornehmen
indem man die 2.Gleichung nach
d = ...
umstellt und dann d in die erste Gleichung
einsetzt.
Damit erhält man 1 Gleichuing mit 3 Unbekannten.
Dies ist aber relativ witzlos.
Dann könnte man formulieren
a = f ( ... b . c )
b = g ( a ... c )
c = h ( a .. b )

Beantwortet von 78 k
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  Tjaa; was würde man tun?  Zunöchst mal hast du aus der  AGULA  den allgemeinen Lösungssatz

   " allgemeine Lösung des  LGS  =  Sonderlösung  +  ===>  Kern.  "     (  1  )


    Also bestimmen wir doch erst mal den  Kern.


     10  a  +  28  b  +  42  c  +  98  d  =  0    |   :  2       (  2a  )

        5  a  +  14  b  +  21  c  +  49  d  =  0          (  3a  )

            a  +        b  +        c  +        d  =  0       (  2b  )


     Der  ===>  Rang des  LGS   (  3a;2b )   dürfte  2   betragen.  Damit haben wir zwei Kernvektoren; unsere Strategie: Wenn wir damit durch kommen, dass wir nacheinander a = 0 so wie d = 0 setzen, sind wir fertig.  Zunächst a  =  0  , dann können wir ganz kräftig kürzen.


           2  b  +  3  c  +  7  d  =  0    |   :    d           (  4a  )

               b  +      c  +      d  =  0    |  :    d            (  4b  )


    Hier der von mir entwickelte Spezial_Divisionstrick.  Da ja  rechts Null steht, bleibt das  GS    ( 4ab  )  trotz der Division   linear;  und zwei Unbekannte erweisen sich im Gegentum zu dreien als beherrschbar. Setze


      B  :=  b / d  ;  C  :=  c / d          (  5  )


     In den neuen Unbekannten  lauten  ( 4ab  )


        2  B  +  3  C  =  (  -  7  )                    (  6a  )

            B  +       C  =  (  -  1  )   |   *  2       (  6b  )


   Den Umformungsschritt habe ich wie üblich vermerkt;  das Subtraktionsverfahren ( 6a )  -  (  6b  )  liefert


        C  =  (  -  5  )  ;  B  =  4        (  7a  )


       und damit unseren ersten Kernvektor


     Kern_1  =  (  0  |  4  |  -  5  |  1  )     (  7b  )


     Und jetzt wiederholen wir das Spielchen mit d = 0 .


   5  a  +  14  b  +  21  c  =  0    :  µ            (  8a  )

       a  +        b  +        c  =  0    :  µ            (  8b  )


    Was ist jetzt auf einmal dieses  µ  ?  Schaut mal hier; ich habe bei  Arndt gespickt. Arndt notiert den Kernvektor grundsätzlich primitiv .


https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm


     Wir setzen


       a  :=  7  µ       (  9a  )


     Im  Grunde wird also durch a dividiert; nur wenn du nicht diese Hilfsgröße  µ  einführst, riskierst du gebrochene Lösungen. Ich setze noch


      B  :=  b / µ  ;  C  :=  c / µ       (  9b  )


     Dann können wir  aber auf einmal in  (  8a  )  kürzen


      2  B  +  3  C  =  (  -  5  )        (  10a  )

          B  +      C  =  (  -  7  )         (  10b  )


    (    ( 10ab ) hat natürlich die selbe Koeffizientenmatrix  wie  ( 6ab )  )

    mit der Lösung


     C  =  9  ;  B  =  (  -  16  )       (  11a  )

     Kern_2  =  (  7  |  -  16  |  9  |  0  )      (  11b  )


     Kehren wir zu deinem ursprünglichen inhomogenen  LGS  zurück;   der Ausgangspunkt in  ( 1 ) war doch: In ( 1 ) genügt uns eine Sonderlösung. Und da stellt sich eben vorteilhaft heraus, dass es eine Lösung gibt  auch für a = d = 0 - zwei Unbekannte können wir ja.


       14  b  +  21  c  =  290 982        (  12a  )

             b  +        c  =  6 679          (  12b  )


      die Lösung von  ( 12ab  )  bitte ich wieder Arndt zu entnehmen; sie ist nicht annähernd so komplitückisch, wie ich befürchtet hatte.

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