Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls

Question

Ich habe folgende Aufgabe bereits mehrmals gerechnet, das Ergebnis stimmt aber nicht? Bitte um kurze Hilfe.

Die Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls betrage bei einem technischen Verfahren 1:800 im Laufe eines Jahres. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Betrieb von 30 Anlagen im Laufe von 12 Jahren der Unfall weniger als dreimal auftritt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

P(A) = 1/800 = 0,0125

P(nicht A) = 1 - 1/800 = 0,99875

n= 30 * 12 Jahre = 360 dh. X ~ B ( 360/800)

Fragestellung weniger als dreimal dh. P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)

Rechenweg: 0,00125^0*0,99875^360 + 0,00125^1*0,99875^359+0,00125^2*0,99875^358 = 0,638247 = 63,82%

und das stimmt aber nicht?!

Comments

sorry, flasch  ... Schreibe es gleich nochmal

Answer 1

Alternativ fällt mir noch die Poissonverteilung ein:  [RICHTIG]

Du bestimmst vorher den Erwartungswert \(\lambda=30\cdot 12 \cdot \frac{1}{800}=0.45\). Dann setzt du einfach in die Verteilungsfunktion ein:$$P(X>3)=\sum_{k=0}^{2}{\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}}$$$$P(X>3)=\sum_{k=0}^{2}{\frac{0.45^k}{k!}\cdot e^{-0.45}}\approx 0.9891206702$$

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[FALSCH]

P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X<3)=((799/800)^30)^12+(12*(1/800)^30)+(12*(1/1600)^30)

Comments

Guck mal, ob eines der Ergebnisse richtig ist. Du scheinst die Lösungen ja zu haben

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Deine Poissonverteilung ist richtig. Deine Binomialverteilung habe ich in meiner Antwort nochmals vorgerechnet.

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Ok, cool. Was ist denn die exakte Lösung?

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Generell würde ich die Poissonverteilung als richtig einschätzen. Allerdings ist die Aufgabenstellung schon verkehrt dafür.

Denn die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Unfall auf 1/800 zu setzen was heißt das. Heißt das jetzt genau 1 Unfall oder können das auch mehrere sein?

Wenn es nur einen oder keinen schweren Unfall geben kann, wäre es binomialverteilt. Das spiegelt allerdings nicht die Realität wieder oder?

Man würde bei einer Poissonverteilung also eher sagen. Im Mittel treten 1/800 = 0.00125 schwere Unfälle pro Jahr auf.

Answer 2

Über Binomialverteilung

n = 12·30 = 360

P(X ≤ 2) = ∑ (x = 0 bis 2) ((360 über x)·(1/800)^x·(799/800)^{360 - x}) = 0.9892

Über die Poissonverteilung die ich bevorzugen würde

λ = 12·30·1/800 = 0.45

P(X ≤ 2) = ∑ (x = 0 bis 2) (0.45^x/x!·e^{-0.45}) = 0.9891

Du siehst es kommt auch in etwa das gleiche heraus.

Comments

Vielen Dank, hat perfekt gepasst :)