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Mit Rechenweg oder Tipps.!

Ich soll den Grenzwert dieser Reihe berechnen. Die Lösung ist 1/6. Aber ich verstehe nicht ganz, wie ich darauf kommen soll. Ich dachte eigentlich, dass die Reihe harmonisch ist also somit divergent. Wie unterscheide ich die nun?

Außerdem benötige ich Hilfe bei der Berechnung.

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2 Antworten

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1. Klammere 1/3 aus.

2: Berechne Summen der ersten n Glieder nach Ausklammern: 1/3, 2/5; 3/7; 4/9; ... n/(2n+1)

3.der Grenzwert von n/(2n+1) für n gegen unendlich ist 1/2.

4.1/3·1/2=1/6

Avatar von 123 k 🚀
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Mit ein wenig Partialbruchzerlegung bekommst du dies:

$$\sum_{k=1}^{\infty}{\dfrac{1}{12k^2-3}} = \dots = \dfrac{1}{6}\cdot \sum_{k=1}^{\infty}{\left(\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k+1}\right)}$$

Avatar von 26 k

Nämlich die schöne Teleskopsumme$$ \dots = \dfrac{1}{6}\cdot {\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dots\right)} = \dfrac{1}{6}.$$

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