0 Daumen
25 Aufrufe

Jede natürliche Zahl kann bekanntlich eindeutig als Summe nicht aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dargestellt werden, das ist der Satz von Zeckendorf. Zum Beispiel ist \( 42 = 34 + 8 = F_9 + F_6 \) und \( 64 = 55 + 8 + 1 = F_{10} + F_{6} + F_{2} \). Die Folge \( 1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, \dots \) enthält genau die Zahlen mit \( F_2 = 1 \) als kleinsten Summanden in ihrer Zeckendorf Darstellung. Bemerkenswert ist, dass das \(n\)-te Folgenglied durch \( \lfloor n \varphi \rfloor \) mit dem goldenen Schnitt \( \displaystyle \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \) gegeben ist.


Gibt es dafür einen elementaren Beweis?


Zum Hintergrund: Ich möchte eine explizite Darstellung des \(n\)-ten Symbols im Fibonacci-Wort beweisen und haben herausgefunden, dass das Symbol vom kleinsten Summanden in der Zeckendorf Darstellung abhängig ist. Falls jemand auf andere Weise zeigen kann, dass \( 2 + \lfloor n \varphi \rfloor - \lfloor (n + 1) \varphi \rfloor \) gleich dem \(n\)-ten Symbol im Fibonacci-Wort ist, bin ich sehr daran interessiert.


Vielen Dank für Eure Hilfe.

Gefragt von

Bitte logge dich ein oder registriere dich, um die Frage zu beantworten.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...