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Ich habe, im Buch, einen Graphen gegeben. Es soll davon die Fläche bestimmt werden. Das Problem ist dass, das nicht von 0 bis 2 laufen kann, weil dieses "divergiert". Wie soll ich das aber berechnen?

Die Fläche geht bis zu 2(Funktionswert) und geht von 0 bis 2(x Wert), aber es ist nicht eingeschlossen.

Wie berechne ich diese Fläche?

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Das ist der Graph im Buch(ungefähr)20190509_210528.jpg

Ich habe, im Buch, einen Graphen gegeben. Es soll davon die Fläche bestimmt werden. Das Problem ist dass, das nicht von 0 bis 2 laufen kann, weil dieses "divergiert". Wie soll ich das aber berechnen?

Du kannst das Resultat (+unendlich, d.h. divergent) mit einer divergenten Minorante abschätzen, falls das das ist, was du brauchst.

Vierecke aufeinander stapeln. Skizze:

~plot~ 1/x^2;1;2;3;4;5;6;x=1;x= 1/sqrt(2);x=1/sqrt(3);x=1/2 ~plot~

Soll eine Art Untersumme für das gesuchte Integral sein.

Es ist eine Aufgabe von einem Mathebuch der 12.Klasse. Was wäre die "einfache Lösung", bin auch müde :)?

Soll ich schreiben "divergent"?

4 Antworten

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ich verstehe die Aufgabe so:

f(x) = 1/x^2

~plot~ 1/x^2;2 ~plot~

jetzt sucht man den x-Wert, bei dem f den Wert 2 annimmt.

Also:

1/x^2 = 2

1/2 = x^2

x = +/- (√2)/2

Hier ist aber nur der positive Wert interessant.

Also integriert man f in dem Intervall I=[(√2)/2;2]

und addiert dazu: 2*(√2)/2

Ich komme dann auf ≈2,328

Gruß

Smitty

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Eben, genau so wollte ich es machen, aber offensichtlich ist der Flächeninhalt "unendlich". Das geht so nicht, es divergiert.

Das soll doch so aussehen (ja, die Zeichnung ist nicht die beste, aber ich glaube es wird klar, was ich meine:


zeichnung.png

Da ist der Flächeninhalt, der gesucht ist, oder?

Und der ist nicht offensichtlich unendlich.

Da hier die Meinungen aufeinander kommen, ja. Es war für mich halt nicht ersichtlich, vielleicht wäre noch eine Begrenzung vom Buch besser gewesen. Jetzt habe ich es aber.

Danke.

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Das Bild im Buch verlangt nach einer andern Fläche. Die ist nicht unendlich.

~plot~ 1/x^2;2;x=2;x=1/sqrt(2) ~plot~

Berechne diese Fläche in 2 Schritten.

1. Rechtecksfläche links von 1/√(2)

2. Integral mit den Grenzen 1/√2 und 2 .

Beide Resultate dann addieren.

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f ( x ) = 1/x^2 = x^(-2)
Stammfunktion
S = x^(-2 + 1) / -1
S = - 1/x

A = [ -1/x ] zwischen lim x -> 0(+) und 2
A =  -1/2 - (- ∞ ) = ∞

Findet bei dir noch eine Deckelung mit y = 2 statt ?

Avatar von 122 k 🚀

Nein, meine Idee wäre es gewesen, wie du sagst, einfach einen "Deckel" zu setzen mit y = 2 und dann den Schnittpunkt zu bestimmen. Das Problem ist aber, dass ich dann nur ein Stück der Fläche habe.

Ein Graph

gm-232.JPG

Der Flächeninhalt ( blau ) ist unendlich.
und bleibt auch unendlich.
Auch bei den tollsten Berechnungen.

Passt, Passt! Ich kann ja dann vom X-Wert des Schnittpunktes weiter integrieren. Dann habe ich die gesuchte Fläche.

Nur eine Frage: Was waren deine Grenzen beim "uneigentlichen" Integral?

Für die Fläche unterhalb der blauen Kurve gilt
A = [ S ] = [ -1/x ] zwischen lim x->0(+) und x = 2
A = -1/2 - ( -1/x )
lim x -> 0(+)
A = -1/2 + ∞

Was sollte mir aber dann das Schulbuch damit sagen, wenn wir diese "Thematik" nie hatten? Es stand nur da, bestimmen Sie die markierte Fläche.

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$$2\cdot 2  - \int_{\frac {1}{\sqrt{2}}}^2\dfrac1{x^2}\,\mathrm dx$$PS: Na, so geht es natürlich nicht!

Avatar von 26 k

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