Bis zu welchem Grad muss ich das Taylorpolynom berechnen ?

Question

Ich soll angeben, bis zu welchem Grad ich das Taylorpolynom um den Entwicklungspunkt a = 2 berechnen muss, damit $$f(x) = \frac{x}{1+x}$$ für alle x∈[1,3] bis auf $$\frac{1}{100}$$ genau approximiert werden kann. Es ist hierbei NICHT nötig, das Polynom anzugeben. Wie kann ich das machen, ich hab da leider überhaupt keine Ahnung.


MfG

Answer 1

Du musst wohl versuchen das Restglied abzuschätzen.

Beim Taylorpolynom bis Grad n ist das Restglied

R_n(x) =  f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n+1)! * (x-xo)ⁿ⁺¹

Dabei ist das ξ aus dem Intervall von  x_o-x bis x_o+x .

In deinem Fall ist xo = 2 (Intervallmitte !) und du bekommst

R_n(x) =  f(n+1)(ξ) / (n+1)! * (x-2)ⁿ⁺¹ .

Und du (n+1)-te Ableitung deiner Funktion ist ja f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = (-1)ⁿ⁺¹*(n+1)! / (x+1)ⁿ⁺²

Also bekommst du (nach kürzen)

Rn(x) =   (-1)ⁿ⁺¹/ (ξ+1)ⁿ⁺² * (x-2)ⁿ⁺¹

und davon der Betrag soll nun kleiner als 1/100 sein.

|Rn(x) |  =  | (x-2)ⁿ⁺¹ / (ξ+1)ⁿ⁺² |.

Das ξ ist mindestens  1, also ist |(ξ+1)ⁿ⁺² | ≥ 2ⁿ⁺¹

   und |x-2|  ≤ 1 also auch  | (x-2)ⁿ⁺¹ | ≤ 1

Damit ist eine Abschätzung für den Fehler

|Rn(x) |  ≤   1 / 2ⁿ⁺¹  und damit das < 1/100 ist, muss

2ⁿ⁺¹   > 100 gelten . Und wegen 2⁷ = 128 ist das

gesuchte n also die 6.

Fazit:  Das Taylorpolynom vom Grad 6 leistet das Gewünschte.

Comments

Okay, kurze nachfrage: Bei deinem Rn(x) müsste es doch (-1)ⁿ⁺² lauten. Ich weiß, es macht wegen dem Betrag keinen Unterschied, aber nur verständnishalber. Und wäre ξ nicht mindestens -1, wenn es ja aus dem Intervall [2-x,2+x] sein muss und x aus[1,3] ist ?

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Das stimmt so nicht. Du betrachtest zunächst, woher das x kommt, hier im Intervall [1,3] und dein ξ muss sich immer zwischen Entwicklungspunkt und dem x befinden.

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Achsooo, dann hatte ich das komplett falsch verstanden. Dann ist es natürlich immer mindestens 1.

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Genauso ist es. Hier ist sogar die Ungleichung ziemlich einfach, sonst sehen auch mal gerne mal anders aus^^.

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Aber wieso hast du (1+ξ)ⁿ⁺¹ mit 2ⁿ⁺¹ abgeschätzt und nicht 2 ⁿ⁺² `? Ist doch viel naheliegender. Und dann komm ich für das n ja auf 5 anstatt auf 6.

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Da hast du recht, da hatte ich mich vertan.

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Ah, okay super. Danke dir vielmals! Sehr hilfreich!

Answer 2

finde für f eine Formel für die k-te Ableitung und beweise sie durch vollständige Induktion, um sicher zu gehen, dass sie stimmt.

Dann führst du eine Restgliedabschätzung (Ich machs immer mit Lagrange) durch, aber diesmal andersherum. Du hast ja jetzt eine obere Fehlerschranke vorgegeben, nämlich 0,01. Diese Ungleichung löst nach n∈ℕ auf. Allerdings geht das bei dieser Ungleichung nur numerisch durch Testeinsetzen. Ansatz ist also

$$|R_n(x)|\leq\Bigg|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot (x-2)^{n+1} \Bigg|\stackrel{!}{<}\frac{1}{100}$$

Dabei ist x∈[1,3] und ξ ziwchen 2 und x. Du musst dein ξ und x so wählen, dass der Betragsausdruck maximal wird. Und dann löst du die Ungleichung. Fertig!

Comments

Vielen Dank für die schnelle, hilfreiche Antwort. Die Formel für die Ableitung besitze ich. Aber soll ich x und ξ dann einfach "raten" damit der Ausdruck maximal wird ?

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Du musst dein x und  ξ wiegesagt so wählen, sodass der Ausdruck so groß wie möglich wird. Das hängt ganz davon ab, ob dein ξ im Zähler oder im Nenner vorkommt.