Tangente an Kreis k und senkrecht auf zu h

Question

Die Tangente des Kreises k: x² + y² = 50 soll senkrecht zu h stehen.

h: (9,4) + t(-1,1)

Ich habe die Steigung der Tangente ausgerechnet indem ich h als Koordinatenform (y=-x + 13) umgeschrieben habe. Also mt: 1

Habe versucht h in k einzusetzen das ging aber nicht:

(9-t)² + (4+t)² = 50

2t² - 10t + 47 = 50

Komme nicht mehr weiter.

!

Answer 1

Hallo Srh97,

Du hast die Gerade in vektorieller Form gegeben. Ich unterstelle daher, dass Ihr schon die Normalenform einer Geraden durch genommen habt. Bei der Hesseschen Normalform einer Geraden $$\vec{n} \cdot \vec{x} = d$$ ist $d$ der Abstand zum Ursprung. Voraussetzung ist, dass $|\vec{n}|=1$ ist. Da $\vec{n}$ senkrecht auf der Geraden steht, ist der gegebene Richtungsvektor der Geraden $\vec{r}= \begin{pmatrix}-1 & 1\end{pmatrix}^T$ auch ein Normalenvektor der gesuchten Tangente, die lt. Aufgabenstellung senkrecht auf der Geraden stehen soll. Für die Hessesche Normalform müssen wir ihn nur noch normieren, d.h. auf eine Länge von 1 bringen. Es ist: $$\vec{n} = \frac{1}{|\vec{r}|} \cdot \vec{r} = \frac{1}{\sqrt{(-1)^2+1^2}} \cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix}$$ Da der Mittelpunkt des Kreises im Ursprung liegt, ist der Abstand aller Tangenten des Kreise vom Ursprung $=R=\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. Das brauche wir nur noch einsetzen und die Tangenten sind gefunden:

$$\vec{n} \cdot \vec{x} = d \quad \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \pm5\sqrt{2}$$ plus/minus weil die Tangente auf beiden Seiten des Kreises senkrecht auf der Gerade steht und den gleichen Abstand hat. Multiplikation obiger Gleichung mit $\sqrt{2}$ bringt sie noch in eine gefälligere Form:

$$\begin{pmatrix}-1 \\ 1\end{pmatrix} \cdot \vec{x} = \pm10 \quad \text{bzw: } -x + y = \pm10; \quad y = x \pm 10$$ Das ganze noch mal graphisch:

 

Falls ihr die Hessesche Normalform noch nicht gehabt hat, und Du eine Lösung mit linearen Funktionen benötigst, so frage bitte noch mal nach.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die Hilfe.

Ich habe aber eine Frage und zwar wieso muss ich immer mal (-1,1) rechnen?

Könntest du mir die Lösung auch mit linearen Funktionen aufzeigen, da ich lieber damit rechne?

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Ich habe aber eine Frage und zwar wieso muss ich immer mal (-1,1) rechnen?

Wenn man eine Vektor $\vec{x}$ mit $\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}^T$ so multipliziert, dass immer der gleiche Ergebnis heraus kommt (z.B. $10$), so liegen alle diese Punkte $\vec{x}$ auf einer Geraden, die senkrecht auf $\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix}^T$ steht. Probiere es mal aus.

Ich entnehme Deiner Frage, dass Ihr die Hessesche Normalform noch nicht durch genommen habt - oder?

Könntest du mir die Lösung auch mit linearen Funktionen aufzeigen, ...

ich gehe davon aus, dass die Erklärung von mathef ausreicht; falls nicht, so melde Dich bitte nochmal.

Gruß Werner

Answer 2

Gehe einfach vom Kreismittelpunkt parallel zu h los. Du triffst den Kreis

z. B. in (5;5)  { oder (-5;-5) }.

Dort ist die Tangente senkrecht zum Richtungsvektor von h.

Comments

Und wie muss ich dabei konkret vorgehen?

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Gerade durch den Kreismittelpunkt (0;0) mit Richtung von h ist

g:  (0;0) + s*(-1;1) . Diese mit dem Kreis schneiden:

   (0-s)² + (0+s)²  = 50

      2s² = 50

        s² = 25

         s=5 oder s= -5

in die Gleichung von g einsetzen gibt die beiden

Berührpunkte  (5;-5) und ( -5;5).

Also bildest du Geradengleichung mit m=1 (Das hast du

ja richtig überlegt.) durch je einen dieser Punkte.

Das gibt die beiden Tangenten

y = x -10   und   y = x + 10