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Aufgabe - Der Kreis in \( \mathbf{R}^{2} \):

(1) Zeigen Sie, dass der Kreis \( \mathrm{k}: \mathrm{x}^{2}-8 \mathrm{x}+\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{y}-83=0 \) den Mittelpunkt \( \mathrm{M}(4 | 1) \) und den Radius \( r=10 \) hat.

(2) Ermitteln Sie die allgemeinen Gleichungen der Tangenten an den Kreis \( k \), die zur Geraden g: \( -3 \mathrm{x}+4 \mathrm{y}=2 \) normal sind, und berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte.

[Zwischenlösung: \( \left.\mathrm{T}_{1}(12 | 7) ; \mathrm{T}_{2}(-4 |-5)\right] \)


Ansatz/Problem:

Hätte versucht die g nach y aufzulösen und in k einzusetzten, komme da aber nicht auf das richtige Ergebnis.

von

3 Antworten

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Wenn die Tangenten zu g normal sind, brauchst du erst Mal die Steigung vong
-3x + 4y = 2
         y = 3/4 x + 1/2 also m= 3/4 und damit suchst du Tangenten mit m= -4/3
also mit Gleichungen der Form y = -4/3 x + n

Diese in k eingesetzt ergeben:
( x-4)^2 + ( y-1)^2 = 100
( x-4)^2 + ( -4/3x + n-1)^2 = 100
gibt eine quadr. Gl. für x mit der Diskriminante 3n^2-38n-713
und damit es nur einen Schnittpunkt gibt, muss die ja 0 sein, das
wäre für n=23 oder n=-31/3 und wenn man diese beiden Werte nimmt
bekommt man tatsächlich die Schnittpunkte.

Einfacher ist aber wohl die Idee:
Die Verbindung von Berührpunkt der Tangente und dem Mittelpunkt des Kreises
müssen ja senkrecht auf der Tangente stehen. Also liefert die Parallele zu g
durch den Mittelpunkt von k die Gerade h durch die beiden Berührpunkte
Das wäre also h :   y= 3/4 x + n und M( 4/1) liegt auf h, also
                                 1 = 3/4 * 4  + n
                                  -2 = n    damit   h: y= 3/4*x - 2
Diese jetzt mit k schneiden, gibt die Berührpunkte:
( x-4)^2 + ( 3/4x - 2-1)^2 = 100
gibt 25/16*(x^2 - 8x + 16) = 100
also (x-4)^2 = 64
   x= 12 oder x = -4  und entsprechend in h eingesetzt die y-Werte, die angegeben waren.

Also sind die Tangenten t1:   y = -4/3 x + n und (12/7) auf t1,   gibt n=23
also t1 .    y =  -4/3 x + 23
und entsprechend t2: y=   -4/3 x -31/3

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Hier die erste Berechnung

Bild Mathematik
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Der Mittelpunkt muss auf der Verbindung der beiden Berührpunkte liegen. Daher

1. Schneide

h: X = ( 4 | 1) + t* (- 3 | 4 ) mit k.

→ T1 und T2.

Kontrolle mit Zwischenlösung.

2. Nun kommst du wie folgt ein zu den  Tangentengleichungen

Ansatz

4x -3y = c              | T1 einsetzen

48 - 21 = c

27 = c

t1 : 4x - 3y  = 27

t2: analog.

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