Gegeben sei der Vektor a = (0,a2,0). Betrachte 1/|r-a| als 1dim Funktion von a2

Question

Also mein Ziel ist die Taylorentwicklung von 1/|r-a| zur 2. Ordnung durchzuführen. Wobei gilt das |a|=a<<r=|r|). Dazu sollte man eine Vorüberlegung anstellen:

Gegeben sei der Vektor a = (0,a2,0). Betrachten Sie als 1dim Funktion von a2 und entwickeln Sie diese für kleine a2 bis zur 2. Ordnung.

Meine Frage würde nun lauten wie man den Vektor als eindimensionale Funktion von a2 darstellen könnte ;-)

Comments

Benutze die Definition des Betrags.

 1/|r-a| = 1/√(r₁² + (r₂-a₂)² + r₃²) 

Hier ist die einzige Variagle die a₂.

Ich hoffe, du kannst nun die Taylorentwicklung selbst durchführen:

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Hallo Lu. Könntest Du etwas zur Vorüberlegung sagen

ich nehme mal r = [x, y, z]

1/√(x^2 + (y - a)^2 + z^2)
= 1/√(x^2 + y^2 - 2·a·y + z^2 + a^2)
= 1/√(x^2 + y^2 + z^2 - 2·a·y + a^2)

jetzt ist a^2 gegenüber x^2 + x^2 + z^2 sehr klein. Soll man jetzt eventuell etwas Vereinfachen, bevor man eine Tylorentwicklung macht?

Die Ableitungen wären ansonsten

d/da = (y - a) * (x^2 + y^2 - 2·a·y + z^2 + a^2)^{-3/2}
dd/dada = - (x^2 - 2·y^2 + 4·a·y + z^2 - 2·a^2) * (x^2 + y^2 - 2·a·y + z^2 + a^2)^{-5/2}

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@Mathecoach: a^2 ist natürlich verhältnismässig klein. Aber, ob man das gleich weglassen darf, weiss ich nicht. Ist es denn sehr mühsam das a^2 mitzuschleppen?

Ich hatte den Fragesteller so verstanden, dass er die Taylorentwicklung dann schon selbst rechnen kann.

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Ja. Ich meine auf die Ableitungen kommt man auch so ohne viel Aufwand.
Meine Frage ging eher in die Richtung wozu man sich dann Vorüberlegungen machen soll wenn |r| >> |a|.
a^2 zu ignorieren könnte fatal sein. denn über das Verhältnis von a^2 zu -2ay kann man nichts sagen. a^2 könnte hier gegenüber sehr groß sein wenn y sehr klein ist. Ist y jedoch sehr sehr groß dann kann man a^2 eventuell vernachlässigen.

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Ich hatte die Vorüberlegung nach dem Doppelpunkt erwartet. Den ersten Teil hatte ich eher als Angabe des Entwicklungs'zentrums' aufgefasst.

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Also erstmal vielen Dank für die Antworten ;) zum besseren Verständnis schreib ich nochmal die komplette Angabe hier ab. Das ganze ist eine Übung aus Theoretischer Physik III: E-Dynamik:

 

a) Unser (Fern-)Ziel ist die Entwicklung bis zum Quadrupol. Daher Vorüberlegung 1: sei der Vektor a=(0,a2,0). Betrachten Sie als 1dim Funktion von a2 und entwickeln Sie diese bis für kleine a2 bis zur 2. Ordnung.

 

b) Nun Vorüberlegung 2: eindimensional enthält die Talyorentwicklung in 2. Ordn. den Term (1/2)*a²*f²(x). Was steht hier im räumlichen Fall: (1/2)*a²*∇²f oder (1/2)*(a*∇)²f?

 

c) Nun tatsächlich die Taylorentwicklung von 1/|r-a| bis zur 2. Ordnung durchführen.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Vorüberlegung zur Taylorentwicklung

Um 1/|r-a| als eine eindimensionale Funktion von $a_2$ zu entwickeln, betrachten wir die Distanz zwischen dem Vektor $r$ und $a$, wobei $r$ ein allgemeiner Vektor im Raum ist und $a=(0,a_2,0)$. Die Länge $|r-a|$ ist definiert als der Betrag der Differenz zwischen $r$ und $a$, was geometrisch der direkten Distanz zwischen den Punkten entspricht, die durch diese Vektoren repräsentiert werden.

Die allgemeine Form für den Abstand |r-a|, mit $r=(r_1,r_2,r_3)$ und $a=(0,a_2,0)$, ist:

$|r-a|=\sqrt{(r_1-0)^2+(r_2-a_2)^2+(r_3-0)^2}=\sqrt{r_1^2+(r_2-a_2)^2+r_3^2}$

Die Funktion, die wir entwickeln möchten, ist:

$f(a_2) = \frac{1}{|r-a|} = \frac{1}{\sqrt{r_1^2+(r_2-a_2)^2+r_3^2}}$

Wir interessieren uns für die Entwicklung dieser Funktion um $a_2=0$ bis zur zweiten Ordnung.

Taylorentwicklung

Die Taylorentwicklung einer Funktion bis zur zweiten Ordnung um einen Punkt $a_2=0$ ist allgemein gegeben durch:

$f(a_2) \approx f(0) + f'(0) \cdot a_2 + \frac{f''(0)}{2!} \cdot a_2^2$

Dafür müssen wir die ersten und zweiten Ableitungen von $f(a_2)$ bei $a_2=0$ finden.

1. Berechne f(0):

$f(0) = \frac{1}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2 + r_3^2}}$

2. Berechne $f'(a_2)$:

$f'(a_2) = -\frac{1}{2} \left( r_1^2 + (r_2 - a_2)^2 + r_3^2 \right)^{-3/2} \cdot 2(r_2 - a_2) \cdot (-1)$

Vereinfacht:

$f'(a_2) = \frac{r_2 - a_2}{\left( r_1^2 + (r_2 - a_2)^2 + r_3^2 \right)^{3/2}}$

Berechne $f'(0):$

$f'(0) = \frac{r_2}{(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2)^{3/2}}$

3. Berechne $f''(a_2)$:

Daraus folgt durch weitere Ableitung und Einsetzen für $a_2=0$, dass

$f''(0)$

nach einer komplexeren Berechnung durch die Anwendung der Ketten- und Produktregel bestimmt wird. Die genaue Form der zweiten Ableitung ist für den Rahmen dieser Erklärung zu umfangreich, doch das Prinzip lautet, dass man $f'(a_2)$ bezüglich $a_2$ differenziert und dann $a_2=0$ einsetzt.

4. Zusammensetzen der Taylorentwicklung:

$f(a_2) \approx f(0) + f'(0) \cdot a_2 + \frac{f''(0)}{2!} \cdot a_2^2$

Dies ergibt die Taylorentwicklung von $f(a_2)$ bis zur zweiten Ordnung, wobei die spezifischen Werte für $f''(0)$ aus der direkten Berechnung folgen. Beachte, dass die Komplexität der Formeln die explizite Berechnung von $f''(0)$ in diesem Rahmen nicht erlaubt, aber der Prozess bleibt stets derselbe: Berechnung von Ableitungen und Evaluierung an dem Punkt, um den herum entwickelt wird.