0 Daumen
1,8k Aufrufe

Ich brauche bei dieser Aufgabe Hilfe:

Gegeben ist eine Gerade:

g: (8/1/0) +r*(1/-8/3)

Eine Ebene  E , die die z-Achse beinhaltet und verläuft parallel zur Geraden  g .

Erstellen Sie die Ebene E in eine Parameterform.

Mein Ansatz

z Achse bedeutet: Stützvektor (8/1/0) soll nur die z Achse beinhalten also --> (0/0/0)

Und die zwei Spannvektoren könnte ich von (8/1/0) und (1/-8/3) aus der Geraden entnehmen und ein Vielfaches davon machen oder?

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Marco,

Mein Ansatz
z Achse bedeutet: Stützvektor (8/1/0) soll nur die z Achse beinhalten also --> (0/0/0)

Eine Parameterform der Ebene zu bestimmen ist einfach. Den Richtungsvektor der Geraden kannst Du sofort wiederverwenden. Da die Z-Achse enthalten sein soll, ist ein weiterer Richtungsvektor \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^T\). Und wenn die Z-Achse enthalten ist, so ist auch der 0-Punkt enhalten. Wir können also den Stützpunkt mit \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\end{pmatrix}^T\) gleich weglassen. Die Ebene ist dann:

$$E: \space \vec{x} = r \cdot \begin{pmatrix} 1\\-8\\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\ 1 \end{pmatrix}$$

Skizze10.png

(klick auf das Bild und bewege die Szene mit der Maus)


Und hier die Lösung für die Normalenform der Ebene:

Wenn die gesuchte Ebene \(E\) die Z-Achse soll, dann muss die Z-Koordinate ihres Normalenvektor =0 sein! Weiter muss die Projektion des Richtungsvektors auf die XY-Ebene senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Folgende Szene soll dies veranschaulichen.

Skizze7.png  

(klick auf das Bild und bewege die Szene mit der Maus) Dort siehst Du die Gerade mit ihrem Richtungsvektor \(\vec{AB}\) und dessen Projektion \(\vec{AB}'\) auf die XY-Ebene. Dass \(\vec{n}\) auf die Gerade zeigt ist hier Zufall, dass muss nicht so sein!

Diese Projektion erhält man, indem man die Z-Koordinate zu 0 setzt \(\rightarrow \begin{pmatrix} 1&-8& 0 \end{pmatrix}^T\) und einen Vektor, der senkrecht darauf steht, erhält man, indem man die verbleibenden Koordinaten vertauscht und einen negiert. $$\vec{n} = \begin{pmatrix} 8\\1\\ 0 \end{pmatrix}$$ Und mit der Z-Achse enthält sie auch den Ursprung; d.h. \(d=0\). Demnach hat die gesuchte Ebene \(E\) die Form $$E: \space \begin{pmatrix} 8\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 0$$ Gruß Werner

Avatar von 48 k
Ich unterstelle mal Du sollst die Ebene in der Normalenform bestimmen,...

Fragen wir mal die Aufgabenstellung ab:

Erstellen Sie die Ebene E in eine Parameterform.


...was auch hier einfacher geht als in der Parameterform.

Hier ist das völlige Gegenteil der Fall.

Fragen wir mal die Aufgabenstellung ab:
    Erstellen Sie die Ebene E in eine Parameterform.

Das kommt davon, wenn man kurz vorm Mittagessen noch schnell eine Antwort rein klopft ;-)

Gut das jemand aufpasst! Danke an Gast_az0815

@Marcus: hast Du das nicht gemerkt? Du hast die Antwort als 'beste' markiert, obwohl sie gar nicht der Aufgabenstellung entsprach (jetzt tut sie es!). Falls Du irgendwas nicht verstehst, so melde Dich bitte und frage nach. Oder wenn Du meinst, alles verstanden zu haben, so kannst Du uns das auch mitteilen. Wir Antwortenden sind auf dieses Feedback angewiesen.

Mit mehr Feedback gibt es bessere Antworten!

Gruß Werner

+1 Daumen
z Achse bedeutet: Stützvektor (8/1/0) soll nur die z Achse beinhalten also --> (0/0/0)
Und die zwei Spannvektoren könnte ich von (8/1/0) und (1/-8/3) aus der Geraden entnehmen und ein Vielfaches davon machen oder?

Nein, das geht so nicht.

Da E die z-Achse enthalten soll, wäre der Nullvektor (0 0 0) ein naheliegender Stützvektor, denn der ist ja Teil der z-Achse. Weiter ist der Richtungsvektor (0 0 1) der z-Achse sicher ein guter Kandidat für einen der Spannvektoren von E. Den anderen Spannvektor bilden wir aus dem Richtungsvektor (1 -8 3) von g, denn E und g sollen ja parallel sein und die beiden so gebildeten Spannvektoren sind sicher nicht kollinear.

Damit lässt sich ohne jede Rechnung sofort eine Parameterdarstellung von E angeben.

Avatar von 26 k
0 Daumen

ich würde einfach die Gerade nehmen und dann die z-Achsd dahinter schreiben.

Für die z-Achse kannst du als Stüzvektor

s= (0,0,0) nehmen

und als Richtungsvektor

r=(0,0,1)

Damit ist die Ebene:

E: x = (8,1,0)+r*(1,-8,3)+t*(0,0,1)

Das wäre mein Vorschlag.

Gruß

Smitty

Avatar von 5,4 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community