Ich mach mal die b) ; das erste Mal habe ich hier die Chance, dass nicht schon jemand die frage beantwortet hat . Gradienten Null setzen
f_x = 3 ( x ² - 1 ) = 0 ===> x1;2 = ( -/+ 1 ) ( 1a )
f_y = 3 ( y ² - 4 ) = 0 ===> y1;2 = ( -/+ 2 ) ( 1b )
( 1a ) UND ( 1b ) müssen erfüllt sein; rein kombinatorisch stehen vier Alternativen zur Auswahl . Diskriminante ist die Hessematrix H
f_xx = 6 x ( 2a )
f_y = 6 y ( 2b )
f_xy ident = 0 ( 2c )
Damit ist uns der besonders einfache Fall gegeben, dass H bereits diagonal ist . In ( 1ab ) hatten wir zwei Punkte, wo so wohl x als auch y negativ sind. Das sind dann Maxima . Analog sind jene beiden Punkt e Minima, wo beide Koordinaten positiv sind .
Und die beiden " gemischten " ? Das sind Sattelpunkte ( SP ) Hier ich tu dir das mit den SP mal erklären. Indefinites H . Das heißt doch, es gibt einen Unterraum U mit negativen Eigenwerten . die Beschränkung von f auf U besitzt dann ein Maximum . Und auf V := (U)T , dem zu U total senkrechten Raum, besitzt H positive eigenwerte und ein ( lokales ) Minimum .
Ein SP ist immer, wenn in einer Richtung ein Minimum und in der anderen ein Maximum ist.
Damit ist ein SP stets ein VERALLGEMEINERTES ( LOKALES ) EXTREMUM .
