Mehrfachintegrale - Zylinderkoordinaten

Question

Durch die Funktion
f (x,y) = 4 – x² – y²
wird ein Paraboloid beschrieben. Unter Verwendung von Zylinderkoordinaten ergibt sich das Volumen dieses Parabo- loiden oberhalb der XY-Ebene wie folgt: die Integrationsgrenzen ergeben sich durch
0 ≤ φ ≤ 2 ⋅π ,
0≤ ρ≤ 2
Die z-Koordinate, d.h. die Höhe der Begrenzungsfläche, ist von x und y abgängig.

Weiß jemand wie diese Aufgabe funktioniert?

Answer 1

Hallo

 erstmal Zylinderkoordinaten:

x=r*cos(φ)

y=r*sin(φ)

z=z  oder z=h

aus den Definitionen für x und y folgt: x²+y²=r²*(cos²(φ)+sin²(φ))=r²

damit ist f(r,φ)=4-r²

für f(x,y)=z  hat man dann z=4-r² z.B in der z=0 Ebene 4-r²=0 r²=4 r=2 also einen Kreis mit Radius 2.

für andere kleinere z immer größere Kreise. Wenn du das Gebilde mit der Ebene y=0 schneidest hast du z=4-x² also eine Parabel, daher der Name Paraboloid.

wenn du das Volumen zwischen Scheitel  z=0 und z=2, entspricht r=2 und r=0 berechnest

∫₀^2π ∫₀² f(r,φ) r*dφdr zu berechnen

in ZylinderKoordinaten ist das Flächenelemet dA=r*dφdr

Gruß lul

Comments

Hast du sehr schön erklärt, mal eine Frage hätte man die Aufgabe auch über einen Dreifachintegral lösen können? Sofern ich jetzt auch richtig integriert habe müsste doch 4π² ?