Taylorpolynom. Komme auf falsche Lösung bitte um Hilfe beim Fehlersuchen :)

Question

ich soll ein Taylorpolynom bestimmen, komme aber beim Endergebnis auf Unstimmigkeiten. Vielleicht könnte ihr ja den Fehler entdecken :)

Es bezeichne Φ(x) die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, wobei die Dichtefunktion durch

$$φ(x) = \frac { 1 } { - \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } }$$

gegeben ist. Das Integral der Dichtefunktion besitzt keine elementare Stammfunktion. Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung von Φ(x) um die Entwicklungsmitte 0. (Hinweis: Es gilt Φ(0) = 1 2.)

Wenn ich ableite und x = 0 einsetze komme ich auf

Φ(0)= 1/2

Φ′(0)= 0

Φ′′(0)= -(1/√(2π))

Alles in die Taylor Formel eingegeben komme ich auf:

$$\frac{1}{2} - \frac{x^2}{2\sqrt{2π}}$$

Die Lösung laut meinem Tutor ist aber:

$$\frac{1}{2} + \frac{x}{\sqrt{2π}}$$

Wo liegt nun mein Fehler? Habe es so oft neu durchgerechnet, aber ich komme einfach nicht darauf..

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Answer 1

Hi,

$$\Phi(0) = \frac{1}{2}$$

$$\Phi'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$$

$$\Phi''(0) = 0$$

Answer 2

du hättest dir auch das Ableiten schenken können, indem du die Summenreihe von e^x genommen hättest und als Argument dann -x²/2. Also

$$f(x) = e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \cdot x^k$$

Mit Vorfaktor ergäbe das nun:

$$\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot f\Big(\frac{-x^2}{2}\Big) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\cdot \Big(\frac{-x^2}{2}\Big)^k\\[15pt]=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2^k\cdot k!}\cdot x^{2\cdot k} \ .$$

$$T_1f(x;0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \sum_{k=0}^1\frac{(-1)^k}{2^k\cdot k!}\cdot x^{2\cdot k}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot \Big(1-\frac{1}{2}x^2\Big) \ .$$