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ich bäuchte einmal Hilfe bei der Berechnung eines Grenzwertes.

Die Aufgabe lautet:

$$ \lim\limits_{x\to\infty} $$$$ \sqrt{x(x+a)}-x $$

Mein Ansatz wäre den Term durch Erweiterung und mit Hilfe der 3ten binomischen Formel umzuschreiben zu: $$ \frac{x(x+a)-x^2}{\sqrt{x(x+a)}+x} $$ und schließlich zu: $$ \frac{ax}{\sqrt{x(x+a)}+x} $$

Nun komme ich allerdings mit der Regel von L'Hospital nicht weiter, da ich die Wurzel nicht weg bekomme.

Könnte mir eventuell jemand behilflich sein? Der Lösungsweg wäre super.



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Tipp: Erweitere mit 1/x.

2 Antworten

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Beste Antwort

es geht ohne L' Hospital

klammere im Nenner x^2 aus

=a / √(1+a/x) +x)

=a/2

Avatar von 121 k 🚀

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Der Hinweis war Gold wert, ich war bei der Aufgabe so auf den L'Hospital eingeschossen.

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  In der Altsteinzeit hab ich das auch immer so gemacht. Damals war die Differenzialrtechnung noch nicht erfunden;  und Pythagoras Binomikos hatte gerade die zweite so wie Hermes Trismegistos die dritte binomische Formel entdeckt .

   Was würdest du bloß tun,  wenn da statt Quadratwurzel eine 4 711 . Wurzel stehen würde?

   Es war die Zeit, als ich noch die Logaritmen in die Obelisken einmeißelte; sog. Logaritmenstelen .

   Wer keine Differenzialrechnung beherrscht oder sie nicht einsetzt, sieht die Matematik an mit den Augen eines Kindes, das noch an den Klapperstorch glaubt .

     Der Name des Genies ist mir leider längst entfallen; und das ( fossile )  Portal auch nur zu erwähnen, ist bei Strafe der Exkommunikation verboten .  Es lief auf eine verallgemeinerte  ===>  Inversion am Einheitskreis hinaus .  Allerdings stellte sich dann doch heraus, dass der ursprüngliche Vorschlag noch nicht allgemein genug war.


           x  ^  r  =:  1 / z  ^  m   ;  r  €  |R  ;  m  €  |N         (  1a  )


       In  (   1a  )  bedeutet   r  die höchste im Radikanden vorkommende Potenz - in deinem Falle  r  =  2  .   Und m ist die Ordnung der Wurzel; hier  m = 2 für Quadratwurzel 

   ( Das ursprüngliche Beispiel war für Kubikwurzel ausgelegt. )


     x  ²  =  1 / z  ²  ===>  x  =  1 / z      (  1b  )

  F  (  x  )  =  F  (  z  )  =  sqr  (  1 / z ²  +  a / z  )  -  1 / z     =     (  2a  )

    =  ( 1/z )  [  sqr  (  a  z  +  1  )  -  1  ]    ;  z  ===>  0       (  2b  )


    Transformation  (  1a  )  ist genau so konzipiert,  dass du vor die eckige Klammer immer diesen ( 1 / z )  Faktor kriegst. Was bringt uns das?

    Bei Lichte besehen ist doch  ( 2b ) nichts als der Differenzenquotient  (  DQ  )  der Funktion


       f  (  z  )  :=  sqr  (  a  z  +  1  )       (  3a  )


     genommen zwischen  z0  =  0  und der beliebigen Stelle  z .  Schlicht und ergreifend  weil  f ( 0 )  =  1   . Und der Grenzwert dieses  DQ  , das wisst ihr,  ist  f  '  (  0  )


                                         a

      f  '  (  z  )  =     ---------------------------      (  3b  )

                                2 sqr ( a z + 1 )



   f  '  (  0  )  =  lim  =  a / 2       (  3c  )


    Ich bekam hier mal den gespielt empörten Kommentar

   " Wenn wir das doch durch Transformation des Definitionsbereichs lösen können / sollen.  Wozu lernen wir dann eigentlich noch  Definitionsbereich?  "

Avatar von 5,5 k

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