du kannst zunächst die rechte Seite etwas vereinfachen, indem du den Hauptnenner bildest. Dann hast du die folgende Ungleichung zu stehen:
$$ \frac{3}{2x-4} < \frac{1}{x} + \frac{3}{2x-2}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \frac{3}{2x-4} < \frac{5x-2}{x(2x-2)} $$
Jetzt schaust du dir die kritischen Stellen an:
$$ 2x-4>0 \Leftrightarrow x>2\\ 2x-4<0\Leftrightarrow x<2$$
$$ x(2x-2)>0 \Leftrightarrow x^2-x>0\quad x_1>1 \quad \lor \quad x_2<0\\ x(2x-2)<0 \Leftrightarrow x^2-x<0\quad x_1<1 \quad \lor \quad x_2>0$$
Hier nun ein Zahlenstrahl mit den kritischen Stellen:
Daran sieht man, dass es vier Fälle zu betrachten gibt:
$$ 1.)\quad x<0\\2.)\quad 0<x<1\\3.)\quad 1<x<2\\4.)\quad 2<x $$
Diese Fälle werde ich nun abarbeiten:
$$ 1.)\quad x<0.\\\frac{3}{2x-4} < \frac{5x-2}{x(2x-2)} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 6x^2-6x>10x^2-24x+8\\\Longleftrightarrow \qquad x^2-\frac{9}{2}x+2<0\\ x_1<4\quad \lor \quad x_2>0,5\\ \mathbb{L_1}=\{\} $$
Beide Lösungen erfüllen nicht die Bedingung für Fall1, weswegen hier die Lösungsmenge(Schnittmenge) leer ist.
$$ 2.)\quad 0<x<1.\\\frac{3}{2x-4} < \frac{5x-2}{x(2x-2)} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 6x^2-6x<10x^2-24x+8\\\Longleftrightarrow \qquad x^2-\frac{9}{2}x+2>0\\ x_1>4\quad \lor \quad x_2<0,5\\ \mathbb{L_2}=\{x:0<x<0,5\} $$
Hier ist die Schnittmenge durch x2 und 0<x (aus Bedingung Fall 2) gegeben.
$$ 3.)\quad 1<x<2.\\\frac{3}{2x-4} < \frac{5x-2}{x(2x-2)} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 6x^2-6x>10x^2-24x+8\\\Longleftrightarrow \qquad x^2-\frac{9}{2}x+2<0\\ x_1<4\quad \lor \quad x_2>0,5\\ \mathbb{L_3}=\{x:1<x<2\} $$
Hier ist die Schnittmenge sogar direkt durch Fall 3 gegeben.
$$ 4.)\quad 2<x.\\\frac{3}{2x-4} < \frac{5x-2}{x(2x-2)} \qquad \Longleftrightarrow \qquad 6x^2-6x<10x^2-24x+8\\\Longleftrightarrow \qquad x^2-\frac{9}{2}x+2>0\\ x_1>4\quad \lor \quad x_2<0,5\\ \mathbb{L_4}=\{x:4<x\} $$
Hier ist die Schnittmenge durch x1 und 2<x (aus Bedingung Fall 4) gegeben.
Insgesamt ergibt das nun folgende Gesamtlösungsmenge:
$$ \mathbb{L}=\mathbb{L_1}\cup \mathbb{L_2}\cup \mathbb{L_3}\cup \mathbb{L_4}=\{x:0<x<0,5\lor 1<x<2\lor 4<x\} $$
