Geben Sie, falls möglich, eine orthogonale Matrix S_3 an, so dass S_3T*M_3*S_3 eine Diagonalmatrix ist.

Question

hier ist nochmal die ganze Aufgabe. Aber es geht nur um die c.

Zuvor war ein S verlangt, so dass S^-1*M*S eine Diagonalmatrix ist... das ist ja klar, einfach eigenvektoren berechnen und diese als Spaltvektoren in eine Matrix. a und b habe ich gelöst.

Aber wie bitte soll ich S^T finden? Das geht nicht einfach mit Eigenvektoren in eine Matrix. Die Lösung die ich erhalte ist ganz was anderes als in der "Musterlösung".

Ich habe folgende Eigenwerte für M_3:

$$\lambda_{1}=0 -> doppelt$$

$$\lambda_{2}=3 -> einfach$$

Damit die Eigenvektoren:

$$v_{1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

$$v_{2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

$v_{3} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ -> von $\lambda_{2}=3$

Wie ich schon sagt, diese einfach in eine Matrix eingesetzt erhält man glaub ich nicht das richtige. Ich bekomme für $S^{T}\cdot M_{3} \cdot S$ folgendes raus:

$$S^{T}\cdot M_{3} \cdot S = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$

mfg

Comments

Hallo

 du hast ja die richtige Diagonalmatrix gefunden, was willst du mehr?

Gruß lul

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S₃ ist nicht orthogonal.

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Wähle den EV v₂ so, dass v₁ senkrecht auf v₂ steht. Anschließend normiere die v_i.

Answer 1

ich habs nochmal kontrolliert und ich habe rausgefunden, dass ich die eigenvektoren einfach Normieren und in eine Matrix einsetzen muss... dann kommt folgendes raus. aber gut wenn es mit der 9 auch stimmt besser :D

Die Lösung vom Tutor ist aber folgendes und scheint Quatsch zu sein...

Die haben das irgendwie mit Gram-Schmidt verfahren gemacht...

mfg.

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Hallo

 mein Fehler! die 9 war falsch, die 3 ist richtig! die diagonalmatrix muss ja die gleichen EW haben wie M

Gruß lul