Koordinaten eines Punktes A(?/?) auf f(x)= 3/4*x

Question

ich würde mich sehr freuen, wenn mir da jemand helfen könnte bei der Aufgabe:


Wie sind die Koordinaten eines Punktes A(?/?) auf  f(x)=3/4*x , der vom Ursprung den Abstand 10 hat?
 

Answer 1

Nun, für die Koordinaten ( xp | yp ) dieses Punktes muss gelten (Pythagoras):

xp ² + yp ² = 10 ²

Außerdem muss natürlich gelten:

yp = f ( xp ) = ( 3 / 4 ) * xp

denn der Punkt soll ja auf dem Graphen von f ( x ) liegen, muss also dessen Funktionsgleichung erfüllen.

Gleichungssystem lösen:

Zweite Gleichung in erste einsetzen:

xp ² + ( ( 3 / 4 ) * xp ) ² = 100

<=> ( 25 / 16 ) xp ² = 100

<=> ( 5 / 4 ) xp = +/- 10

<=> xp = +/- 10 * ( 4 / 5 ) = +/- 8

Daraus ergibt sich für yp:

yp = ( 3 / 4 ) * xp = +/- 6

Es gibt also zwei Punkte, die die Bedingung erfüllen:

P1 ( - 8 | - 6 ) und P2 ( 8 / 6 )

Answer 2

Die Koordinaten aller Punkte auf f(x) lauten

P(x, 3/4*x)

Der Abstand zum Ursprung berechnet sich nach

(x - 0)^2 + (3/4*x - 0)^2 = 10^2
x^2 + 9/16*x^2 = 10^2
25/16*x^2 = 10^2
x^2 = 100 * 16/25
x = 10*4/5 = ±8

Die Punkte lauten daher:

P1(8, 6)
P2(-8, -6)