Wieso ist lim f(x) gegen minus unendlich eigentlich 0? f(x) = x*e^x

Question

Aufgabe 2.a.

Wieso ist lim f(x) gegen minus unendlich eigentlich 0 ? Weil außer -1 keine weitere Nullstelle unter 0 gefunden wurde? Warum ist dann lim f(x) gegen unendlich = unendlich?

Answer 1

Hallo

e^x steigt für positive x stärker als jede Potenz von x, für negative x geht es stärker gegen 0 als jede Potenz von x, also auch x^10*e^x geht für x-> -  ∞ gegen 0,  und e^x/x^6 gegen  +∞ für x-> ∞.

bei x=-1 liegt ein lokales Min. da die Funktion  links davon fallend f'<0 und rechts davon steigend ist ist es auch ein absolutes Min,

Gruß lul

Answer 2

du kannst es ganz gut so betrachten:

$$ \lim_{x \to -\infty} x\cdot e^x=\lim_{x \to \infty}-x\cdot e^{-x}\stackrel{(*)}{=}\lim_{x \to \infty}\frac{-x}{e^x}=\lim_{x \to \infty}\frac{(-1)\cdot x}{e^x}=-1\cdot 0=0$$

Und wie schon erwähnt wurde: e^x wächst für positive x schneller als jede Potenzfunktion.

(*) Potenzgesetz