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Kann man bei den Summenzeichen auch i mit 0,5 anwachsen lassen?

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Ich denke du kannst.

In der Mathematik ist die Addition (bezeichnet mit einem vergrößerten griechischen griechischen Sigma-Symbol $\sum$) die Addition einer Folge von Zahlen; Das Ergebnis ist ihre Summe oder Summe. Wenn Zahlen nacheinander von links nach rechts hinzugefügt werden, ist jedes Zwischenergebnis eine Partialsumme, eine Präfixsumme oder eine laufende Summe der Summe.

Die zu summierenden Zahlen (Addenden oder manchmal Summanden) können Ganzzahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen oder komplexe Zahlen sein.
Laut der Seite "Summation" Wikipedia auf Englisch

Von dem, was ich lese, steht dir nichts entgegen.

 - Ich habe \( \sum_{i\in S}f(x) \) versehen, die Summe von \( f(x)  \) über alle Elemente \( x \) in der Menge \( S \). Vielleicht können Sie Abweichungen von 0,5 in S nehmen ?

@Marine: https://de.wikipedia.org/wiki/Summe#Formale_Definition

Hier wird zwar die Indexmenge I nirgends explizit eingeschränkt.

Der Index k ist aber die Nummer eines Folgengliedes a_(k) und kann daher sinnvollerweise nur eine natürliche (allenfalls auch ganze) Zahl sein.

3 Antworten

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das i ist immer ein ganzzahliger INDEX. Da i aber für komplexe Zahlen verwendet wird, besser k als Laufvariable verwenden.

Jegliche Stauchung wird hinter dem Summenzeichen realisiert:

0.5+1.0+1.5 sind nun mal 3 Terme, die man als Summe schreibt:

Sum k/2, k=1...3

=$$ \sum_{k=1}^{3}{k/2} $$


Mit dem k/2 kann man so rechnen, als wenn es wie Deine "Wunschvariable" wäre. Willst Du z.B. Quadrate

daraus machen, einfach eine Klammer drum: (k/2)²

Sollen Funktionswerte in "halben Schritten" wachsen: sin(k/2) usw.

Avatar von 5,7 k
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meines Wissens nach ist die sogenannte Laufvariable - in deinem Fall \(i\) - Element aus den ganzen Zahlen.

Somit kann \(i\) nicht direkt mit 0,5 wachsen.

Vielleicht gibt es dort aber einen mir unbekannten Trick, mit dem man es indirekt um 0,5 wachsen lässt.

Gruß

Smitty

Avatar von 5,4 k
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die Summe, mit der man immer arbeitet, ist immer auf die natürlichen Zahlen definiert. Wenn du nun aber deine Schrittweite verkleinern willst, kannst du dennoch bei den natürlichen Zahlen bleiben, sodass immernoch mit Schrittweite 1 gezählt wird. Du musst einfach nur die Obergrenze des Aufsummierens verdoppeln. Hier ein Beispiel

$$ a_n=n $$ im 0.5 Schritt von 0 bis 50 aufaddieren, also $$ s_n=0+0,5+1+1,5+2+2,5+...+49,5+50\\=\frac{1}{2}\cdot (0+1+2+3+4+5+...+99+100)\\=\frac{1}{2}\cdot \sum_{k=0}^{100} k=\frac{1}{2}\cdot \frac{100*(100+1)}{2}=\frac{100\cdot 101}{4}\\=25\cdot 101=2525 $$

Oder

$$ b_n=3^n $$ im 0.5 Schritt von 0 bis 2 aufaddieren, also

$$ s_n=3^0+3^\frac{1}{2}+3^1+3^\frac{3}{2}+3^2=\Big(3^\frac{1}{2}\Big)^0+\Big(3^\frac{1}{2}\Big)^1+\Big(3^\frac{1}{2}\Big)^2+\Big(3^\frac{1}{2}\Big)^3+\Big(3^\frac{1}{2}\Big)^4=\sum_{k=0}^4 \Big(3^\frac{1}{2} \Big)^k\\=\frac{\sqrt{3^{4+1}}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3^5}-1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3^5}-1)\cdot (\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)\cdot (\sqrt{3}+1)}=\frac{2\cdot(13+4\cdot\sqrt{3})}{2}=13+4\cdot \sqrt{3} $$

Wie du siehst, ist es vollkommen sinnlos, eine Summe einzuführen, die eine neue Schrittweite hat.

Avatar von 14 k

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