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Ich sitze grade an meiner Hausübung und bin mir beim formulieren unsicher.

Es geht um die Anzahl der Elemente in Pot(A) (Potenzmenge von A). Ich habe für die Behauptung aufgeschrieben $$\forall n\in\mathbb{N}: |A|=n+1\Longrightarrow |\mathcal{P}(A)|=2^{n+1}$$

Kann man das so schreiben? Ist das richtig?

von

Hallo

 vielleicht schreibst du doch erstmal die aufgabe genau?

Gruß lul

Vgl. auch hier: https://www.mathelounge.de/497523/wie-formuliert-man-die-induktionsbehauptung

Willst du die Frage nach einem Beweis von |P(A)| = 2^ (|A|) für beliebigen endliche Mengen formulieren?

Im Induktionsschritt schreibt man meist nur  n ==> (n+1) 

Hast du absichtlich die Latex-Umwandlung ausgeschaltet? Ich sehe nun:

Skärmavbild 2018-08-15 kl. 21.26.30.png

und

Skärmavbild 2018-08-15 kl. 21.27.43.png

3 Antworten

+1 Punkt
 
Beste Antwort

Hier musst Du bei der Formulierung wirklich genau sein. Ich denke, dass die Variante

"Unter der Voraussetzung, dass \(A(n)\) gilt, gilt die Behauptung auch für \(A(n+1)\)"

der formalen Definition

\(A(n)\Longrightarrow A(n+1)\)

am nächsten kommt. Das \(\forall \) wird wichtig, wenn Du den Induktionsschritt gehst, indem Du letztlich die Implikation \(A(n)\Longrightarrow A(n+1)\) beweist.

von 2,4 k
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Die Induktionsbehauptung lautet:

Wenn für |A|=n gilt |P(A)|=2n, dann gilt für |A|=n+1 |P(A)|=2n+1.

von 54 k

Wie kann man Deine Lösung mit "für alle" (Allquantor) umschreiben? Ist meins jetzt falsch?

 ∀n: Wenn für |A|=n gilt |P(A)|=2n, dann gilt für |A|=n+1 |P(A)|=2n+1.  

Danke!!! Kann man auch schreiben:

Unter der Voraussetzung das |A|=n -> |P(A)|=2^n für ein n gilt, gilt für alle  |A|=n+1 |P(A)|=2n+1?

Könnte man schreiben?

$$\forall n\in\mathbb{N}:(|A|=n\Rightarrow |P(A)|=2^n)\Rightarrow (|A|=n+1\Rightarrow |P(A)|=2^{n+1}$$

?????

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Schreibe das besser in Worten, wenn das ein Beweis werden soll.

Induktionsschritt: 

Induktionsvoraussetzung: Für |A|=n gilt |P(A)|=2^{n}

Induktionsbehauptung: Für |A|=n+1 gilt |P(A)|=2^{n+1}.

Beweis: n ==> n+1

Umglücklich ist, dass du die (endliche) Menge mit A bezeichnest. A steht oft für Aussage.

Also Aussage Nr. n: A_{n}.

Aussage Nr. n+1: A_{n+1} .

Dann ist:


Induktionsvoraussetzung: A_{n}.


Induktionsbehauptung: A_{n+1} .

von 6,4 k

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