mit Kenntnis der Fibonacci-Folge kann man das unmittelbar ausrechnen. Ich bestimme zunächst noch \(a_0\): $$a_0 = a_2 - a_1 = 3-1=2$$ und berechne jedes \(a_n\) als Linearkombination aus \(a_0\) und \(a_1\). Dann ist: $$\begin{aligned} a_0&= 1 \cdot a_0 + 0 \cdot a_1\\ a_1 &= 0 \cdot a_0 + 1 \cdot a_1 \\ a_2 &= 1 \cdot a_0 + 1 \cdot a_1 \\ a_3 &= 1 \cdot a_0 + 2 \cdot a_1 \\ a_4 &= 2 \cdot a_0 + 3 \cdot a_1 \\ a_5 &= 3 \cdot a_0 + 5 \cdot a_1 \\ &\dots\\ a_n &= f_{n-1} \cdot a_0 + f_n \cdot a_1\end{aligned} $$ wenn \(f_n\) ein Element der Fibonacci-Folge ist - mit \(f_0=0\), \(f_1=1\) usw.
Nach der Formel von Moivre/Binet ist $$f_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^n - \left( \frac{-1}{\varphi}\right)^n \right) \quad \text{mit } \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ Und jetzt nur noch für \(a_n\) einsetzen: $$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left(\varphi^{n-1} - \left( \frac{-1}{\varphi}\right)^{n-1}\right) \cdot 2 + \left( \varphi^n - \left( \frac{-1}{\varphi}\right)^n \right) \cdot 1\right) $$ und etwas vereinfachen: $$\begin{aligned} a_n &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( 2\varphi^{n-1} - 2\left( \frac{-1}{\varphi}\right)^{n-1} + \varphi^n - \left( \frac{-1}{\varphi}\right)^n\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^n (2\varphi^{-1}+1) - \left( \frac{-1}{\varphi}\right)^n(-2\varphi +1) \right) \\ & = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \varphi^n \sqrt{5} + \left( \frac{-1}{\varphi}\right)^n\sqrt{5} \right) \\ &= \varphi^n + \left( \frac{-1}{\varphi}\right)^n \\ &= \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n + \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \end{aligned}$$
