Konvergenzradius von Potenzreihen

Question

Ich soll den Konvergenzradius von zwei Potenzreihen bestimmen: 

a) $$ \sum_{n=0}^{\infty}{((n*2^n)/(n+1)^6)*x^n} $$

und

b) $$ \sum_{n=0}^{\infty}{1/n^n*x^n} $$

Zur b) dachte ich an folgendes nach Cauchy-Hadamard: ich berechne: 1/lim(n->unendlich) n-te-Wurzel von 1/n^n?

Answer 1

Ja genau.

Zu a) geht das Wurzelkriterium auch ganz gut, um zu sehen, ob sie konvergiert.

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldung. Bei der b) wäre dann der Grenzwert von lim n-te-Wurzel von nⁿ unendlich. Dementsprechend würde einfach kein Konvergenzradius ex. oder?

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Nein. Mit dem Wurzelkriterium guckst du zuerst, ob sie konvergiert.

$$ \limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}=\limsup_{n\to \infty}\sqrt[n]{\Bigg|\frac{1}{n^n}\cdot x^n\Bigg|}=\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n}\cdot x=0<1$$

Daher gilt

$$ R=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|b_n|}}=\infty$$

Answer 2

Aufgabe b)

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Answer 3

ja cauchy hadamard geht immer.

Bei der a) kommt dann r=1/2 heraus und bei der b) r=∞

Comments

vielen Dank für die Rückmeldung. Ich hätte bei der a jetzt folgendes:

lim n-te-wurzel((n*2^n)/(n+1)^6) = n*2/(n+1)^6^1/n, also n*2/(n+1)^6/n

Und da 6/n -> 0 geht haben wir n*2/1. Wie komme ich da dann auf die 2? Um 1/2 letztendlich zu haben?

Vielen Dank vorab :)

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Du hast da irgendwie die Potenzgesetze verhauen, die Umformungen könnten so aussehen.:

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n*2^n}{(n+1)^6}}\\ =2*\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}/(\sqrt[n]{(n+1)})^6\\=2*1/1^6=2$$

Die Potenz kürzt sich nur bei (2^n)^{1/n}=2^{n/n}=2

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Das sieht wirklich besser aus, hab mich verrechnet. :)