Wie vereinfache ich die Brüche am einfachsten? (x^4 -y^4)/(x-y) ?

Question

Hi ich bin über zwei ähnliche Aufgaben gestolpert, bei denen ich nicht die richtige Lösung finde bzw. den Lösungsweg. Es wäre nett wenn mir jemand erläutern könnte wie genau ich diese Aufgaben am unkompliziertesten vereinfachen kann.

$$ \frac{x^4 -y^4}{x-y} $$

$$ \frac{a^4-b^4}{a-b} $$

Comments

Ich habe es bereits selber auf die Reihe bekommen, falls jemand neugierig ist:

$$ \frac{x^4-y^4}{a+b} $$=a-b*(a^2+b^2)

$$ \frac{a^4-b^4}{a-b} $$=x+y*(x^2-y^2)

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Der erste Quotient entspricht nicht mehr der Aufgabe und beim zweiten fehlen im Ergebnis Klammern.

Answer 1

Es wäre nett, wenn mir jemand erläutern könnte, wie genau ich diese Aufgaben am unkompliziertesten vereinfachen kann.

Am einfachsten geht es wohl mit der dritten binomischen Formel:

$$\begin{aligned} \dfrac{a^4-b^4}{a-b}&=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2-b^2\right)}{a-b}\\[12pt]&=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right)\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)}\\[12pt]&=\left(a^2+b^2\right)\left(a+b\right). \end{aligned}$$

Answer 2

du kannst eine Polynomdivision machen:

$$ (x^4-y^4):(x-y)=x^3+y\cdot x^2+y^2\cdot x+y^3 $$ $$ \underline{-(x^4-y\cdot x^3)}\\\qquad \quad ~ ~  y\cdot x^3-y^4\\\qquad \quad ~ ~ \underline{-(y\cdot x^3-y^2\cdot x^2)}\\\qquad \qquad \qquad \qquad ~ y^2\cdot x^2-y^4\\\qquad \qquad \qquad \qquad ~ \underline{-(y^2\cdot x^2-y^3\cdot x)}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad ~ ~ y^3\cdot x-y^4\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad ~ ~ \underline{-(y^3\cdot x-y^4)}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad ~ ~  \underline{\underline{0}} $$

Und nun die Probe

$$ (x^3+y\cdot x^2+y^2\cdot x+y^3)\cdot (x-y)\\=x^4+y\cdot x^3+y^2\cdot x^2+y^3\cdot x-y\cdot x^3-y^2\cdot x^2-y^3\cdot x-y^4\\=x^4-y^4 $$

Der untere Ausdruck ist exakt derselbe nur, dass a=x und b=y ist. Fertig