Parameter bestimmen, wenn Summe einer geometrischen Reihe s gegeben ist durch s=2.

Question

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe weiterhelfen ?

Parameter bestimmen, wenn Summe einer geometrischen Reihe s gegeben ist durch s=2.

Answer 1

Hi,

$$\sum_{k=1}^{\infty} \alpha \left(\frac13\right)^k $$

Ausklammern von \(\alpha\) da unabhängig von k und damit von der Summe. Sowie Indexverschiebung

$$= \alpha \left(-1 + \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac13\right)^k\right)$$

Geometrische Reihe

$$= \alpha (-1+1,5) = 0,5\alpha$$

Das soll nun 2 ergeben:

$$0,5\alpha = 2$$

$$\alpha = 4$$

Alles klar?

Grüße

Comments

Was heißt lim?

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lim heisst Limes (Grenzwert).

In der Antwort könnte / sollte (?) Unknown lim weglassen, weil über dem Summenzeichen bereits unendlich steht. In der Fragestellung könnte / sollte (?) man Grenzwert auch weglassen. 

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Stimmt natürlich. Danke ;). Habs entfernt.

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Warum die -1 ?:)

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@Judith: Indexverschiebung noch nicht gesehen?

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Nein, hatten wir noch nicht

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Wenn eine Indexverschiebung nicht bekannt ist, weißt Du dann mit der geometrischen Reihe umzugehen, die bei 1 beginnt?

Ansonsten ist eine Indexverschiebung kein Hexenwerk

Dir ist doch klar, wie eine Summe zu verstehen ist:

$$\sum_{k=2}^{3} k^k = 2^2 + 3^3 = \color{green}{31}$$

Wenn ich nun den Index verschieben möchte, um die 1 hinzuzunehmen, will ich den Zahlenwert der Summe ja nicht ändern. Das sieht dann aber erstmal so aus:

$$\sum_{k=1}^{3} k^k = 1^1 + 2^2 + 3^3 = \color{red}{32}$$

Ich muss also links noch eine 1 abziehen, damit das wieder stimmt:

$$-1 + \sum_{k=1}^{3} k^k = -1 + 1^1 + 2^2 + 3^3 = \color{green}{31}$$

Einverstanden?

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Ja, danke. Mich würde noch interessieren wie man das über die geometrische Reihe lösen kann ?:)

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Lies die Antwort von Unknown und benutze die Formel für geometrische Reihen an der Stelle, wo Unknown "geometrische Reihe" geschreiben hat.