Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z ∈ C mit z quer = z^2
Kann mir einer die Vorgehensweise bei solchen Aufgaben erklären danke voraus
Mein Ansatz:
x-yi=(x+yi)^2
x-yi=X^2+2xyi-y^2
x-yi=x2+2xyi-y2
Dann muss x = x2 - y2 sein und -yi = 2xyi. Das ist ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Löse es.
Wie kommt man darauf das x =x^2-y^2 ist welche Umformung mach man dort das gleiche gilt auch für die andere Gleichung welche Umformung macht man dort ?
x ist der Realteil von x-yi
x2-y2 ist der Realteil von (x+yi)2 (das ist, was du mit deiner Umformung ausgerechnet hast).
Laut Aufgabenstellung muss (x+yi)2 = x-yi sein. Insbesondere muss dann der Realteil der beiden Zahlen gleich sein.
Zu der anderen Gleichung kommt man, indem man den Imaginärteil betrachtet.
Dein Ansatz ist richtig.
Vergleiche nun Realteil und Imaginärteil auf beiden Seiten:
--->
1) x=x^2-y^2
2) -y=2xy
-----------------------
2') -y=2xy
-y-2xy=0
y(-1-2x)=0----->Satz vom Nullprodukt:
y1=0 und x1= -1/2
y1 eingesetzt in 1):
x=x^2
0=x^2-x
0=x(x-1)
x2=0
x3=1
x1 eingesetzt in 1):
-1/2= (-1/2)^2 -y^2
-1/2= 1/4 -y^2
3/4=y^2
y2.3=±√3/2
Zusammengefasst:
x = -1/2, y = -√(3)/2
x = -1/2, y = √(3)/2
x = 0, y = 0
x = 1, y = 0
Wie kommt man darauf das x =x2-y2 ist welche Umformung mach man dort das gleiche gilt auch für die andere Gleichung welche Umformung macht man dort ?
Vergleiche den Realteil und Imaginärteil auf beiden Seiten
Hallo.
z= x+iy
Re(z)= x
Im(z)= y
einfacher gehts hier vielleicht mit der Exponentialdarstellung:
$$\bar z=z^2\\ re^{i(-\varphi)}=r^2e^{i(2\varphi)}\\ -->r=r^2-->r=0-->z=0\\ oder\\ r=1-->e^{i(-\varphi)}=e^{i(2\varphi)}\\ 1=e^{i(3\varphi)}-->\varphi=2\pi k/3, k=0,1,2,3$$
Ich muss genau dieselbe Aufgabe lösen und ich verstehe nicht wie ich weitermachen soll.
Also ich habe bis jetzt gerechnet:
(x+iy)(x+iy)=x-iy
Ich habe habe am Ende
x^2-y^2=x
und 2xiy=-iy bzw 2xy=-y
Aber beides ist ja nicht das gleiche..also x und y
Ein anderes Problem?
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