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ich bearbeite gerade eine Übungsaufgabe mit 3 Teilen. Zuerst sollte ich die Taylor-Reihe zu x^s mit Entwicklungspunkt a bestimmen.

$$ T_{f,a}= \sum_{n=0}^\infty{\frac{{a^{s-n}}\prod_{k=0}^{n-1} (s-k)}{n!}(t-a)^{n}}$$

Danach sollte ich den Konvergenzradius der Taylorreihe für s:=(-1/2) und für a:=1 bestimmen. Diesen habe ich per Quotientenkriterium ausgerechnet und dafür r=1 raus bekommen. Nun hänge ich jedoch gerade an der letzten Teilaufgabe und zwar soll ich zeigen, dass die Taylorreihe auf [1,1+r) also auf [1,2) gegen x^{-1/2} konvergiert. Bisher habe ich versucht die Ungleichung $$|T_{f,1}^n - x^{-1/2}|< \epsilon$$ nach n umzustellen um so mein n für die punktweise Konvergenz zu finden. Leider bisher ohne Erfolg. Gibt es hierfür vielleicht ein praktisches Konvergenzkriterium oder gibt es einen Kniff beim Umformen den ich übersehen habe? Danke schon mal im Voraus!

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1 Antwort

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Hallo

 schreibe vielleicht lieber 
$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1 + x)^n \begin{pmatrix} s\\n \end{pmatrix}$$

dann setze s=1/2 auch ein

aber, wenn die TR konvergiert, dann auch gegen die dargestellte Funktion.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

Ahhh, okay. Vielen Dank, habe es jetzt. Eine Verständnisfrage dazu hätte ich noch. Wieso konvergiert für den Entwicklungspunkt 1 die Taylorreihe nur auf [1,2), obwohl man sie direkt zu x^{-1/2} durch den Binom. Lehrsatz umformen kann? Rein intuitiv konvergiert sie für mich auf Grund der Gleichheit für alle x. Vielleicht ist es jetzt auch nur die späte Stunde aber ich kann mir das gerade schlecht vorstellen. Wieso ist diese Intuition falsch?

Oh, ich bin doof. Haha, ignoriere das Kommentar. Habe aus versehen bei meinem Summenzeichen einen falschen Buchstaben drüber geschrieben.

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