0 Daumen
698 Aufrufe

Brauche bitte Hilfe

Limes_{h gegen 0} von ((x+h)^n-x^n)/h

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

verwende den binomischen Lehrsatz

= lim h ---> (x^n +n*hx^{n-1}+(n über 2)*h^2*x^{n-2} +...+h^n -x^n)/h

= lim h ---> 0 ( n*hx^{n-1}+(n über 2)*h^2*x^{n-2} +...+h^n )/h

=n*x^{n-1}

weil in den anderen Summanden nach dem kürzen immer mindestens ein h bleibt, was gegen 0 geht.

Avatar von 37 k
0 Daumen

Das ist der Differenzenquotient der Funktion f(x)=xn. Seine Limes für h gegen Null ist die erste Ableitung f'(x)=n·xn-1.

Avatar von 123 k 🚀
0 Daumen

lim_{h->0}  ((x+h)^n-x^n)/h         | binomischer Lehrsatz

= lim_{h->0}  ((x^n + nx^{n-1}h + ax^{n-2}h^2 + b(x^{n-3}h^3 …+h^n)-x^n)/h

= lim_{h->0}  (x^n + nx^{n-1}h + ax^{n-2}h^2 + b(x^{n-3}h^3 …+h^n-x^n)/h

= lim_{h->0}  ( nx^{n-1}h + ax^{n-2}h^2 + b(x^{n-3}h^3 …+h^n)/h            | oben h ausklammern

= lim_{h->0}  ( h(nx^{n-1} + ax^{n-2}h + b(x^{n-3}h^{2} …+h^{n-1})/h       | h kürzen

= lim_{h->0}  (nx^{n-1} + ax^{n-2}h + b(x^{n-3}h^{2} …+h^{n-1})        | Grenzübergang

= nx^{n-1} + 0 + 0 …+ 0

= nx^{n-1}

Avatar von 162 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community