Untersuchen Sie die Funktionenschar ft(x)=e^{tx}-x

Question

da ich leider in den Stunden gefehlt habe, in denen wir das durch genommen haben, fehlt mir einiges an Wissen. Leider habe ich sowieso sehr große Probleme in diesen Thema...

Die funktion ist ft(x)=e^tx -x , t>0

Ableitungen

ft'(x)= te^tx-1

ft''(x)= t²e^tx 

ft'''(x)= t³e^tx

Bei der Symentrie habe ich errechnet das es weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch ist.

Nullstellen habe ich keine finden können, da e^tx =0 und das muss ja dann mit logarithmus gerechnet werden und logarithmus 0 geht nicht.

Beim verhalten für x gegen unendlich habe ich nichts herausfinden können

Und bei den Extremstellen haberts extrem

Ich habe nun ft'(x) = te^tx -1=0

Dann +1 und dann te^tx=1

Aber was nun mit dem te^tx?

Entschuldigung wenn das einfach seien soll, aber ich verstehe es trotzdem nicht.

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Comments

ft'(x) sollte heißen f_t'(x)= te^tx-1

Answer 1

Ableitung von f_t(x)=e^tx - x ist f_t'(x) = te^tx - 1.

Bei der Symentrie habe ich errechnet das es weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch ist.

Das ist korrekt.

Nullstellen habe ich keine finden können, da e^tx = 0 ...

Mit dem gleichen Argument könnte ich behaupten "Nullstellen habe ich eine finden können, da -x = 0 und das muss ja dann mit plus gerechnet werden und plus 0 geht."

Um Nullstellen zu finden löst man die Gleichung

        f(x) = 0.

Einsetzen des Funktionsterms in diese Gleichung liefert

        e^tx - x = 0.

Diese Gleichung hat mindestens eine Lösung. Sie kann aber nicht durch Gleichungsumformungen berechnet werden.

Beim verhalten für x gegen unendlich habe ich nichts herausfinden können

Schau die an wie sich die einzelnen Summanden für x gegen unendlich verhalten. Im Zweifel siegt die Exponentialfunktion.

Aber was nun mit dem te^tx?

Löse die Gleichung

        te^tx = 1

nach x auf, so wie du auch zum Beispiel die Gleichung

        2e^2x = 1

nach x auflösen wurde. Lass dich nicht von den vielen Buchstaben verunsichern.

Answer 2

Hallo

Nullstellen: nicht e^{tx}=0 sondern e^{tx}-x =0 das ist nicht einfach zu lösen, aber  e^{tx}=x hat für k<0,37 Lösungen. finden kann man die aber nicht exakt

f'=0 auch t*e^{tx}=1 kann man nicht direkt lösen ausser t=1, x=0 für t>1 Nullstelle bei x<0 t<1 Nullstelle bei x>0

Wendepunkte keine, da t^2>0 und e^{tx}>0

x->- ∞  Assymptote y=-x

x->+∞, f(x)->+ ∞

Gruß lul