Basis zur Summe zweier linearer Hüllen bestimmen

Question

Gegeben seien folgende Vektoren in ℝ³:

v₁=$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$,  v₂=$\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}$, w₁=$\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$, w₂=$\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix}$.

Sei ${U}_{1}=L({ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 })$ die lineare Hülle von ${ v }_{ 1 },{ v }_{ 2 }$ und sei ${U}_{2}=L({ w }_{ 1 },{ w }_{ 2 })$. Geben sie eine Basis für ${U}_{1} + {U}_{2}$ an.

Meine Lösung:

$${U}_{1} + {U}_{2} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} \end{pmatrix}.$$ Zum Beipiel lässt sich der Vektor $\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ wie folgt darstellen: $$\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 1*\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + (-1)*\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + (-1)*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix},$$ daraus folgt, dass $\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von ${U}_{1} + {U}_{2}$ ist.

Da aus ${λ}_{1}*\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} + {λ}_{2}*\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -4 \end{pmatrix} + {λ}_{3}*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ folgt, dass ${λ}_{1},{λ}_{2},{λ}_{3} = 0$  ist, sind diese Vektoren linear unabhängig und damit auch eine Basis von ${U}_{1} + {U}_{2}$.

Ist meine Lösung richtig? Denn in der Musterlösung wird einfach $\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ als Basis angegeben. Das ist zwar logisch wie das berechnet wurde, aber ich komme mit der Methode von meiner Lösung besser klar.

Answer 1

Du hast eine Basis aus 3 Vektoren richtig bestimmt.

U1+U2 ist also ein dreidimensionaler Unterraum von ℝ³ , also gleich ℝ³

und damit ist die Standardbasis von ℝ³ natürlich auch eine Basis

für diesen Unterraum.

Deine Methode gefällt mir auch besser.

Comments

Vielen vielen Dank. Jetzt sind alle Zweifel beseitigt :).