Beweis Gruppenhomomorphismus injektiv wenn Kern trivial

Question

Wie beweise ich, dass ein Gruppenhomomorphismus f: H → G genau dann bijektiv ist, wenn der Kern (f) trivial ist bzw. Kern(f)= {e} ⊂ H ???

Answer 1

Gar nicht, die Aussage ist falsch.

Gegenbeispiel:  $$C_2 \to C_2 \times C_2$$, $$x \mapsto (x,e)$$ ist injektiv aber nicht bijektiv.

Dabei bezeichnet \(C_2\) die zyklische Gruppe mit 2 Elementen.

Comments

@Anonym: Ein Tipp, nutze das TeX-Tool für eine Vorschau deiner Eingaben. :)

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Es tut mir leid ich habe mich vertippt gemeint war injektiv und nicht bijektiv. Dementsprechend ist meine frage wie beweise ich, dass ein Gruppenhomomorphismus f: H → G genau dann injektiv ist, wenn der Kern (f) trivial ist bzw. Kern(f)= {e} ⊂ H ???