Gruppenhomomorphismus und Kern\Bild von φ

Question

Könnt ihr mir bitte helfen? Danke 

Comments

Steht z^φ  bei euch für φ(z) ? 

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Die Funktion wird einfach so geschrieben.

Du schreibst doch z.B. Quadratvon(x) auch x^2

Und so soll φ(z) einfacher als z^φ geschrieben werden.

Was dahinter steht ist aber trotzdem nur eine Funktion φ. Man könnte sich also auch φ(z) denken.

Answer 1

Zeige für alle  x,y aus Z   (x+y)^φ = x^φ  +  y^φ         

Das ist einfach; denn  nach der Def.  gibt es  ja

ein a mit   (x+y)^φ =  a*(x+y) = a*x + a*y =  x^φ  +  y^φ         

Und der Kern von φ enthält alle x aus Z mit 

x^φ  = 0    also   a*x = 0  

Also ist der Kern(φ) = { 0 } falls a ungleich 0 ist,und Kern(φ) = Z  falls   a=0 .

und  Bild(φ) = a*Z