Question

Geben Sie die Liste aller Untergruppen der Permutationsgruppe S3 an. Beweisen Sie, dass Ihre
Liste alle Untergruppen von S3 enthält.

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Vom Duplikat:

Titel: Untergruppen der symmetrischen Gruppe S3

Stichworte: algebra,untergruppe,symmetrische,gruppe,s3

Geben Sie sechs verschiedene Untergruppen der symmetrischen Gruppe S₃ an.
Zeigen Sie (ohne Verwendung von Sätze wie dem Satz von Lagrange), dass es keine weiteren Untergruppen von S₃
gibt.

Answer 1

2 Untergruppen sind im wahrsten Sinne des Wortes trivial.

Bestimme dann alle zyklischen Unterguppen.

Es ist leicht einzusehen, dass es sonst keine Untergruppen gibt.(Man kann z.B. die zwei verbleibenden (ohne Lagrange) potentiell möglichen Untergruppenmächtigkeiten ausschließen.)

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Wie zeige ich, dass es keine weiteren Untergruppen gibt?

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Wie sehen denn die Untergruppen aus, die du gefunden hast?

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- S₃={(1), (12), (13), (23), (123), (321)}
- {(1)}
- {(1), (123), (321)}
- {(1), (23)}
- {(1), (13)}
- {(1), (12)}

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Das passt.

Jetzt kannst du zeigen, dass (ab)(bc)=(abc) und (bc)(ab)=(acb),

Beachte auch, dass Transpositionen selbstinvers sind.


Damit kannst du zeigen, dass eine Untergruppe die einen Zykel der Länge 2 und einen der Länge 3 enthält auch die beiden anderen Transpositionen enthält, sowie natürlich den anderen Zykel der Länge 3. Damit also die ganze Gruppe.

Hat die Gruppe zwei Transpositionen so enthält die Gruppe nach obiger Gleichung auch die Zykel der Länge 3 ist also nach oben die ganze Gruppe.

Andere Fälle können nicht auftreten.