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Hallo Liebe Leute !

Kann mir bitte jemand sagen wie man diese Ungleichung lösen kann mit 4 Variablen ?!

(ab + cd)^2 ≤ (a^2 + c^2)(b^2 + d^2)

Ich denke wenn ich beweisen könnte dass zb. a = 0 ist sieht man dass die Ungleichung stimmt oder ?

Aber ich weiß nicht wie ich das formal beweisen kann ?

Wäre sehr dankbar für eine Erklärung!!!!

mfG
von
Äquivalenzumformungen (nachrechnen!): (a*b + c*d)^2

1 Antwort

+2 Daumen

 

bei solchen Aufgaben multipliziere ich erst einmal aus: 

 

(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)* (b2 + d2)

a2b2 + 2abcd + c2d2 ≤ a2b2 + a2d2 + b2c2 + c2d2 | -a2b2 - c2d2

2abcd ≤ a2d2 + b2c2 | - 2abcd

a2d2 - 2abcd + b2c≥ 0 | 2. Binomische Formel:

(ad - bc)2 ≥ 0 

Und das gilt natürlich in jedem Falle, da ein quadrierter Term immer ≥ 0 ist.

 

Besten Gruß

von 32 k
Hallo Brucebabe danke für deine Antwort - so habe ich auf begonnen bis zur 2. Bin. Formel jedoch versteh ich nicht was das genau aussagt oder steh ich da komplett auf da Leitung ? :/

Lg

Gern geschehen :-)

Letztendlich wurde die Ungleichung mehrmals umgeformt, bis sich eine eindeutige Aussage ergab. 

Lies die ganze Rechnung vielleicht einfach von hinten nach vorn, dann erhältst Du: 

Aus 

(ad - bc)2 ≥ 0

was ja keiner bestreitet :-)

folgt am Schluss

(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)* (b2 + d2)

So etwas verständlicher?

Prima, freut mich sehr !!

Wenn noch irgendetwas unklar ist, bitte weiter fragen :-)

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