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Aufgabe

Sei X eine endliche Menge mit n Elementen,

und sei Y eine endliche Menge mit m Elementen. 

(1) Wie viele Funktionen von X nach Y gibt es ? = m^{n} 
(2) Wie viele injektive Funktionen von X nach Y gibt es ? 
(3) Wie viele bijektive Funktionen von X nach Y gibt es ?

_______________________________________________

(2) Zuerst dachte ich dass die Antwort 0 wäre.

Aber ich betrachte ich den Fall, dass n<m
Wenn die Menge X n Elemente hat, und n kleiner m ist, dann könnten einzelne Elemente x mit einzelnen Elementen y verbunden sein mit der Eigenschaft dass

x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)


gilt. 

Allerdings wäre es dann nicht eine Abbildung von X nach Y die die gesamten Mengen betrachtet sondern eine Teilmenge von X könnte dies erfüllen.  

Problem:
Und jetzt komme ich nicht weiter... 



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(2) Es muss gelten, dass 

f-1(Y) = X 

Das ist nur möglich wenn IXI = IYI also n=m ist. 


Ist aber n≠m dann ist auch 

f-1(Y) ≠ X.

Und somit wäre f keine surjektive Abbildung von X nach Y und die Antwort dann 0.
Aber ich kriege keine Antwort auf die Frage wieviele es sind. 

Problem:
Ich bin mit meiner Argumentation unsicher. 





Avatar von

Ich habe wieder die selbe Aufgabe bekommen:

Soll ich die Frage hier bestehen lassen oder soll ich sie neu stellen ? 
Ich würde allerdings meine obige Frage nun anders stellen.

1 Antwort

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Bijeektiv geht nur bei n=m. Anzahl=n!

Avatar von 287 k 🚀

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