Wie löst man diese Matrix: 0,5[x-1 y-1] [1|1 1|-1] [x-1 y-1]

Question

Wie löst man diese Matrix:

$$0,5 \left[ \begin{array} { l l } { x - 1 } & { y - 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x - 1 } \\ { y - 1 } \end{array} \right]$$

Answer 1

Matrix mal den hinteren gibt

x+y-2

x-y

und jetzt den vorderen mal das

gibt eine 1x1 Matrix:

x^2 / 2   +x(y-2) -y^2 / 2 + 1

Ich hatte erst mal die Matrix mal den zweiten Vektor gerechnet. Dabei kommt ein Spaltenvektor raus.

Schrittweise:

$$0,5*\begin{pmatrix} x-1 &y-1\\  \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1 &y-1\\  \end{pmatrix}^T$$

Beim Transponieren wird aus der Zeile eine Spalte:$$=0,5*\begin{pmatrix} x-1 &y-1\\  \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x-1\\ y-1 \end{pmatrix}$$

Jetzt hast du hinten Matrix mal Spalte. Das Ergebnis wird eine Spalte mit zwei Elementen. Für das erste: obere Matrixzeile mal die Spalte, das gibt

1*(x-1) + 1*(y-1) = x+y-2 .

Für das zweite entsprechend mit der 2. Zeile der Matrix, also:

$$=0,5*\begin{pmatrix} x-1 &y-1\\  \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x+y-2\\ x-y \end{pmatrix}$$

Und jetzt hast du nur noch eine Zeile und eine Spalte, das gibt also

bei der Multiplikation ein einziges Element als Ergebnis:

(also quasi eine 1x1 Matrix)

$$=(\frac{x^2}{2}+x*(y-2)-\frac{y^2}{2}+1)$$