Beschränktheit einer rekursiven Folge

Question

ich habe eine rekursive Folge die so aussieht:

$$ { f }_{ 0 }=\sqrt { 14 } $$ und $$ { f }_{ n+1 }=\sqrt { 14+5{ f }_{ n } } $$

für n ≥ 0.

Nachdem wir gezeigt haben das diese Funktion  streng monoton wachsend ist, sollten wir zeigen das sie nach oben beschränkt ist.

In der Lösung wird hierfür eine als erstes eine Behauptung aufgestellt: fn < 100 für alle n. Dies gilt für f0 = $$ \sqrt{14} $$

Als nächstes wird die Annahme f₀  < f1 <.... < fn < 100 aufgestellt.

$$ { f }_{ n+1 }=\sqrt { 14+fn } \quad <\quad \sqrt { 14+5\cdot 100 } =\sqrt { 514 } <\quad \sqrt { 10000 } \quad =100 $$

-> Behauptung, damit ist f konvergent.

Ich verstehe die Art des Beweises nicht, im Grunde behauptet man hier einfach das die Funktion nie größer als 100 sein wird ohne etwas zu beweisen.

Ist das so überhaupt legitim, falls ja wieso?

Danke und Gruß,

DunKing

Answer 1

\({ f }_{ n+1 }=\sqrt { 14+5fn } \quad <\quad \sqrt { 14+5\cdot 100 } =\sqrt { 514 } <\quad \sqrt { 10000 } \quad =100\)

Setze n = 0 ein. Die Aussage lautet dann, dass f₁ < 100 ist. Die Schlussfolgerung ist korrekt, weil du bereits gezeigt hast, dass f₀  < 100 ist.

Setze n = 1 ein. Die Aussage lautet dann, dass f₂ < 100 ist. Die Schlussfolgerung ist korrekt, weil du bereits gezeigt hast, dass f₁  < 100 ist.

Setze n = 2 ein. Die Aussage lautet dann, dass f₃ < 100 ist. Die Schlussfolgerung ist korrekt, weil du bereits gezeigt hast, dass f₂  < 100 ist.

...

Dieses Beweisverfahren nennt man vollständige Induktion.

im Grunde behauptet man hier einfach das die Funktion nie größer als 100 sein wird ohne etwas zu beweisen.

Eigentlich beweist man: wenn ein Funktionswert kleiner als 100 ist, dann ist der nächste Funktionswert auch kleiner als 100. Zusammen mit der Tatsache, das f₀ kleiner als 100 ist ergibt sich, dass jeder Funktionswert kleiner als 100 ist.

Answer 2

Hallo

 ja es ist legitim, wegen des Anfangs, du sagst ja nicht einfach alle fn sind <100 sondern du sagst WENN ein fn<10, dann ist auch das nächste, also fn+1<100

 und weil f0<100 ist damit f1<100 deshalb f2<100 usw. Das ist das Prinzip der sog. vollständigen Induktion. wenn der Anfang richtig ist, und man zeigt: wenn es für irgendeines richtig ist, dann auch für das nächste, hat man gezeigt, dass es für alle gilt.

wenn du f0<10 sagst kannst du au dieselbe Art beweisen dass alle fn<10 probiers mal zum üben

Gruß lul

Answer 3

     <<     Nachdem wir gezeigt haben das diese Funktion  streng monoton wachsend ist,

     Mir fällt auf;  du scheinst das folgende Standardteorem nicht zu kennen, das man immer wieder als Konvergenzbeweis    einsetzt.

    " Jede MONOTON WACHSENDE  BESCHRÄNKTE  folge konvergiert. "

     Hier hast du Beschränktheit gezeigt mit diesem  100 .

     Monotonie, sagst du, war schon in der Uni dran. Fertig.

     Das folgt übrigens aus dem  ===> Supremumsaxiom.  Etwa in der Schule liegt es der Überlegung zu Grunde, dass das Archimedische Ausschöpfungsverfahren gegen Pi konvergiert  ===>  Dedekindscher Schnitt

       Dass Pi gerade keine rationale Zahl ist, daran erkennst du, dass dieses Verfahren etwa auf |Q  NICHT  funktioniert.