Konvergenz einer komplexen Folge

Question

Noch ein Frage zu einer Aufgabe mit Lösung.

Zu folgender konvergenten Folge soll der Grenzwert bestimmt werden: $${ c }_{ n }={ \left( \sqrt { \frac { e }{ 7 } } \quad +\quad \sqrt { \frac { \pi }{ 8 } } \right) }^{ n }$$

Lösung:

1.Schritt: Wir weisen den zahl z zu: $${ \left( \sqrt { \frac { e }{ 7 } } \quad +\quad \sqrt { \frac { \pi }{ 8 } } \right) }^{ n }\quad =\quad { z }^{ n }$$

2.Schritt: $${ \left| z \right| }^{ 2 }\quad =\quad \frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 8 } \quad <\quad \frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 7 } <\quad 1,\quad da\quad e\quad +\pi \quad <3+4=7.....Also\quad lim({ c }_{ n })=0$$

-> Frage: Kann man eine Aussage bezüglich der Konvergenz über $$\left| z \right| <1$$ treffen?

Wieso wurde hier der Betrag verwendet und wieso musse man $$\frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 8 } \quad <\quad \frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 7 }$$ das hier zeigen? Hatte doch hier keinerlei Mehrwert oder oder?

Soweit ich weiss wäre der limes doch:

$$\quad lim({ c }_{ n })=\quad lim\quad { (\frac { e }{ 7 } ) }^{ n }+\quad i\cdot lim{ (\frac { \pi }{ 8 } ) }^{ n } = 0$$Hätte ich damit falsch gelegen?

Answer 1

  Wo hast du denn überhaupt ein  "  i  "  ?

Comments

Das i kommt hinter den zweiten Summanden, kann es leider nicht mehr bearbeiten.

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  Wegen dem  " Hoch n " handelt es sich um eine geometrische Folge .  Eine Geofolge geht ( auch im Komplexen ) gegen Null <===>  ihr Quotient

             |  q  |  <  1       (  1a  )

     Sie haut ab gegen Unendlich   <===>

           |  q  |    >  1      (  1b  )

    Und im Falle  |  q  |  = 1  flappt sie auf dem Einheitskreis herum.  Da der Rand des Einheitskreises  insbesondere  ===>   kompakt ist, besitzt dort jede Geofolge eine ( geeignete  ) konvergente Teilfolge.   Also sehmermal guck; welcher Fall liegt hier vor?    Wir bilden das Betragsquadrat

        |  q  |  ²  =  |  sqr  (  e/7  )  +  i  sqr  (  Pi/8  )  |  ²  =  e/7  +  Pi/8        (  2  )

    Nun gelten aber die Abschätzungen

        e  <  3  ;  Pi  <  4        (  3a  )

         und damit in ( 2 )

     |  q  |  ²    <  3/7  +  4/8  =  3/7  +  1/2  =  1/14  (  6  +  7  )  =  13/14  <  1   (  3b  )

    womit sich deine Folge als Nullfolge erweist .

Answer 2

Hallo

(a+ib)ⁿ≠aⁿ+(ib)ⁿ  auch nicht aⁿ+ib1n  deshalb ist dein Ansatz falsch .

Wenn dagegen |z|<1 dann konvergiert zⁿ gegen 0

 bei komplexen Folgen  muss entweder der Betrag konvergieren, oder Im(z) und Re(z) beide. wenn der Betrag konvergiert  konvergiert auch zⁿ

Beweis du kannst z=r*e^it  dann hoch n wenn rⁿ gegen 0 konvergiert dann eben auch z

Gruß lul

Comments

Ich verstehe wieso mein Ansatz falsch war, mach Sinn :).

Zur Theorie:

" |z|<1 dann konvergiert zn gegen 0" gilt das dann auch für |z|>1 Konvergenz gegen unendlich? Was wäre im Fall 0?

Für die zweite Art die konvergenz zu bestimmen: " oder Im(z) und Re(z) beide". Falls in so einem Fall Im(z) gegen eine und Re(z) gegen eine andere Zahl konvergieren würde, was macht dann?