Noch ein Frage zu einer Aufgabe mit Lösung.
Zu folgender konvergenten Folge soll der Grenzwert bestimmt werden: $${ c }_{ n }={ \left( \sqrt { \frac { e }{ 7 } } \quad +\quad \sqrt { \frac { \pi }{ 8 } } \right) }^{ n } $$
Lösung:
1.Schritt: Wir weisen den zahl z zu: $${ \left( \sqrt { \frac { e }{ 7 } } \quad +\quad \sqrt { \frac { \pi }{ 8 } } \right) }^{ n }\quad =\quad { z }^{ n }$$
2.Schritt: $${ \left| z \right| }^{ 2 }\quad =\quad \frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 8 } \quad <\quad \frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 7 } <\quad 1,\quad da\quad e\quad +\pi \quad <3+4=7.....Also\quad lim({ c }_{ n })=0$$
-> Frage: Kann man eine Aussage bezüglich der Konvergenz über $$\left| z \right| <1$$ treffen?
Wieso wurde hier der Betrag verwendet und wieso musse man $$ \frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 8 } \quad <\quad \frac { e }{ 7 } +\frac { \pi }{ 7 }$$ das hier zeigen? Hatte doch hier keinerlei Mehrwert oder oder?
Soweit ich weiss wäre der limes doch:
$$\quad lim({ c }_{ n })=\quad lim\quad { (\frac { e }{ 7 } ) }^{ n }+\quad i\cdot lim{ (\frac { \pi }{ 8 } ) }^{ n } = 0 $$Hätte ich damit falsch gelegen?
