Matrixdarstellung herleiten

Question

Ich komm bei dieser Aufgabe leider nicht weiter, ich versteh eigentlich was ich "tun" muss, nur habe ich leider gar keinen Ansatz.

Also die Matrix wird ja durch den Richtungsvektor abgebildet, verstanden, ich soll zeigen bzw. herleiten wie ich durch den Richtungsvektor auf diese Matrix komme, aber wie?

Answer 1

Berechne erst mal  A * Vektor

1
0

 das gibt den Vektor v =

(ich nehme a und b statt tau1 und tau2)

2a² / (a²+b²) - 1
   2ab / (a²+b²)

Zeige zuerst    |v| = 1

und dann

1        +   v       
0                          ist Vielfaches von r.

Dann weißt du jedenfalls, dass die erste Spalte der Matrix stimmt.

Entsprechend mit

0
1

und du bist fertig; denn wenn die Basisvektoren ri8chtig abgebildet werden,

dann auch alle anderen.

Comments

Ganz oben dran steht aber Vektor r = T1, T2 ungleich Null, das wäre dann doch nicht richtig?

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Das ist die Richtung der Spiegelachse.

Answer 2

Wir haben

$r \, := \, \binom{r_1}{r_2}$ ===> r⊥r' ===> $r' \, := \, \binom{r_2}{-r_1}$

Die Spiegelung P' eines Punktes P würde ich dann schreiben als

$P' \, := \, p - 2 \; \frac{ r' \;p}{r'^{2}} \; n$

Beispiel: r=(2,1) und P=(4,0) ===> P'=(2.4,3.2)

Bilde die Basisvektoren {e1=(1,0),e2=(0,1)} ab mit r=(r_1,r_2)

$Ao:= \left\{ e1 - 2 \; \frac{r' \;e1}{r'^{2}} \; r', e2 - 2 \; \frac{r' \;e2}{r'^{2}} \; r' \right\}$

$Ao=\left\{ \left(\frac{r_1^{2} - r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, 2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}} \right), \left(\frac{r_1^{2} - r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, 2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}} \right) \right\}$

mit U: $\left\{ \frac{r_1^{2} - r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, \frac{r_1^{2} + r_2^{2} - 2 \; r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, \frac{r_1^{2} + r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} - 2 \cdot \frac{r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}}, 1 - 2 \cdot \frac{r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} \right\}$

$Ao:=\left(\begin{array}{rr}-2 \cdot \frac{r_2^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} + 1&2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}}\\2 \; r_1 \cdot \frac{r_2}{r_1^{2} + r_2^{2}}&-2 \cdot \frac{r_1^{2}}{r_1^{2} + r_2^{2}} + 1\\\end{array}\right)$

Ao Spiegelung |Ao|=-1

Meine Matrix hat eine andere Diagonale als Deine, solte aber kein Problem sein - oder? Erweitere U mit r_1 - r_1 statt r_2 - r_2

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$r \, := \, \binom{2}{1}$ ===> $A_{21} \, := \, \left(\begin{array}{rr}\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\\\frac{4}{5}&-\frac{3}{5}\\\end{array}\right)$ ==> A p = P'=(12/5,16/5)